试卷类型：B

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

2013.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．对于任意向量
、
、
，下列命题中正确的是

A．
B．
C．
D．

2．直线
与圆
的位置关系是

A．相交 B．相切 C．相离 D．取决于
的值

文3（理1）．若
（
是虚数单位）是关于
的方程
（
）的一个解，则

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
的图象如图1所示，则其导函数
的图象可能是

5．若函数

的一个对称中心是
，则
的最小值为

A．1 B．2 C．4 D．8

6．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于

圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两

部分，则截面的面积为

A．
B．

C．
D．

7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是

A．8年 B．10年 C．12年 D．15年

8．记实数
，
，…，
中的最大数为
，最小数为
，则

A．
B．1 C．3 D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为
的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量
．

10．已知
为锐角，且
，则
．ks5u

11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．

12．已知函数
，点集
，
，

则
所构成平面区域的面积为 ．

13．数列
的项是由1或2构成，且首项为1，在第
个1和第
个1之间有
个2，即数列

为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列
的前
项和为
，则
；
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

在△
中，
是边
的中点，点
在线段
上，且满足
，延长
交
于点
，

则
的值为 ． ks5u

（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点
，点
是曲线
上任意一点，设点
到直线

的距离为
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

某单位有
、
、
三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点
，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为

，

，

．假定
、
、
、
四点在同一平面内．

（1）求
的大小；

（2）求点
到直线
的距离．

17．（本小题满分12分）

已知正方形
的边长为2，
分别是边
的中点．

（1）在正方形
内部随机取一点
，求满足
的概率；

（2）从
这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的

距离为
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

18．（本小题满分14分）

等边三角形
的边长为3，点
、
分别是边
、
上的点，且满足

（如图

3）．将△
沿
折起到△
的位置，使二面角
成直二面角，连结
、

（如图4）．

（1）求证：
平面
；

（2）在线段
上是否存在点
，使直线
与平面
所成的角为
？若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知
，设命题
：函数
在区间
上与
轴有两个不同的交点；命题
：
在区间
上有最小值．若
是真命题，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分14分）

经过点
且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
．点
、
在轨迹
上，且关于
轴对称，过线段
（两端点除外）上的任意一点作直线
，使直线
与轨迹
在点
处的切线平行，设直线
与轨迹
交于点
、
．

（1）求轨迹
的方程；

（2）证明：
；

（3）若点
到直线
的距离等于
，且△
的面积为20，求直线
的方程．

21．（本小题满分14分）

设
是函数

的零点．

（1）证明：
；

（2）证明：

．

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

C

A

B

C

B

D





二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．

9．54 10．
11．
12．
13．
；
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）

解：（1）在△
中，因为

，

，

，

由余弦定理得
………………………………………………………2分

． ……………………………………………………3分

因为
为△
的内角，所以
．……………………………………………………4分

（2）方法1：因为发射点
到
、
、
三个工作点的距离相等，

所以点
为△
外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分

设外接圆的半径为
，

在△
中，由正弦定理得
， ……………………………………………………………7分

因为
，由（1）知
，所以
．

所以
，即
．…………………8分

过点
作边
的垂线，垂足为
，…………………………9分

在△
中，
，
，

所以
………………………………………………………11分

．

所以点
到直线
的距离为

．……………………………………………………………12分

方法2：因为发射点
到
、
、
三个工作点的距离相等，

所以点
为△
外接圆的圆心．……………………5分

连结
，
，

过点
作边
的垂线，垂足为
， …………………6分

由（1）知
，

所以
．

所以
．………………………………………9分

在
△
中，
，

所以
．……………………ks5u………………………11分

所以点