试卷类型：B

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（文科）

2013.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“
，
”的否定是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

2．如果函数
的定义域为
，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

3．对于任意向量
、
、
，下列命题中正确的是

A．
B．
C．
D．

4．若直线
与圆
相交于
、
两点，则
的值为

A．
B．
C．
D．与
有关的数值

5．若
（
是虚数单位）是关于
的方程
（
）的一个解，则

A．
B．
C．
D．

6．执行如图1所示的程序框图，输出的
值为

A．225 B．196 C．169 D．144

（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕
”）

7．若函数

的一个对称中心是
，则
的最小值为

A．2 B．3 C．6 D．9

8．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于

圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两

部分，则截面的面积为

A．
B．

C．
D．

9．已知
，
，且
，那么
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，且至少需要

选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：

模块

模块选择的学生人数

模块

模块选择的学生人数



A

28

A与B

11



B

26

A与C

12



C

26

B与C

13



则三个模块都选择的学生人数是

A．7 B．6 C．5 D．4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域
（图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点
，则点
落在区域
内的概率为 ．

12．已知
为锐角，且
，则
．

13．数列
的项是由1或2构成，且首项为1，在第
个1和第
个1之间有
个2，即数列

为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列
的前
项和为
，则
；
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

在△
中，
是边
的中点，点
在线段
上，且满足
，延长
交
于点
，

则
的值为 ．

（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点
，点
是曲线
上任一点，设点
到直线

的距离为
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：

视力数据

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

5.2

5.3



人数









2



2



2

1



1









（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；

（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为
、
、
、
、
．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的概率．

17．（本小题满分12分）

某单位有
、
、
三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点
，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为

，

，

．假定
、
、
、
四点在同一平面上．

（1）求
的大小；

（2）求点
到直线
的距离．

18．（本小题满分14分）

如图4， 在三棱锥
中，
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
，
，当三棱锥
的体积最大时，

求
的长．

19．（本小题满分14分）

在等差数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在正整数
、
，且
，使得
、
、
成等比数列？若存在，求出所有符合条件的
、
的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数

．

（1）若
在定义域上为增函数，求实数
的取值范围；

（2）求函数
在区间
上的最小值．

21．（本小题满分14分）

经过点
且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
．点
、
在轨迹
上，且关于
轴对称，过线段
（两端点除外）上的任意一点作直线
，使直线
与轨迹
在点
处的切线平行，设直线
与轨迹
交于点
、
．

（1）求轨迹
的方程；

（2）证明：
；

（3）若点
到直线
的距离等于
，且△
的面积为20，求直线
的方程．

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

D

A

C

B

B

C

A

B





二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．ks5u

11．
12．
13．
；
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分）

解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为

．

据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为
．………………………………………………3分

（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为
、
、
、
、
、
，

所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，共15种情形．…………………………………………………7分

其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的有
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，共10种．

……………………10分

所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的概率为
． ………………12分

17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）