浦东新区2013年高考预测

数学试卷（理科）

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.

2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．已知复数
满足
（其中i为虚数单位），则
= .

2．已知集合A＝
，B＝
，且
，则实数a的值是 .

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.

4．函数
与
的图像关于直线
对称，则
.

5．把三阶行列式
中第1行第3列元素的代数余子式记为
，则关于
的不等式
的解集为 .

6．若双曲线的渐近线方程为
，它的一个焦点是
，则双曲线的标准方程是 .

7．若直线
与圆
有公共点，则实数
的取值范围是 .

8．记直线
：
（
）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为
，则
.

9．在
中，角A、B、C所对的边分别为
、
、，若
，则
.

10．若等式
对一切
都成立，其中
，
，
，…，
为实常数，则
＝ .

11．方程
在区间
上解的个数为 .

12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为
；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为
，则随机变量
的数学期望为 .

13．如果
是函数
图像上的点，
是函数
图像上的点，且
两点之间的距离
能取到最小值
，那么将
称为函数
与
之间的距离.按这个定义，函数
和
之间的距离是 .

14．数列
满足
（
）．

①存在
可以生成的数列
是常数数列；

②“数列
中存在某一项
”是“数列
为有穷数列”的充要条件；

③若
为单调递增数列，则
的取值范围是
；

④只要
，其中
，则
一定存在；

其中正确命题的序号为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 （ ）

充分不必要条件
必要不充分条件

充分必要条件
既不充
分也不必要条件

16．已知


则
与
的夹角为 （ ）

17．已知以
为周期的函数
，其中
。若方程
恰有5个实数解，则
的取值范围为 （ ）

．

18．从集合
中任取3个元素组成一个集合
，记
中所有元素之和被3除余数为的概率为
，则
的大小关系为 （ ）

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

如图，已知正四棱柱
的底面边长是
，体积是
，
分别是棱
、
的中点．

（1）求直线
与平面
所成的角（结果用反三角函数表示）；

（2）求过
的平面与该正四棱柱所截得的多面体
的体积．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.

已知向量
向量
与向量
的夹角为
，且
。

（1）求向量
；

（2）若向量
与
共线，向量
，其中
、
为
的内角，且
、
、
依次成等差数列，求
的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

设函数

（1）当
，画出函数
的图像，并求出函数
的零点；

（2）设
，且对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

已知直角
的三边长
，满足

（1）在
之间插入2011个数，使这2013个数构成以
为首项的等差数列
，且它们的和为
，求的最小值；

（2）已知
均为正整数，且
成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
，且
，求满足不等式
的所有
的值；

（3）已知
成等比数列，若数列
满足
，证明：数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且
是正整数.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.

（1）设椭圆
：
与双曲线
：
有相同的焦点
，
是椭圆
与双曲线
的公共点，且
的周长为
，求椭圆
的方程；

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

（2）如图，已知“盾圆
”的方程为
.设“盾圆
”上的任意一点
到
的距离为
，
到直线
的距离为
，求证：
为定值；

（3）由抛物线弧
：
（
）与第（1）小题椭圆弧
：
（
）所合成的封闭曲线为“盾圆
”.设过点
的直线与“盾圆
”交于
两点，
，
且
（
），试用
表示
；并求
的取值范围.

浦东新区2013年高考预测

数学试卷答案

一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．
； 2．1； 3．20； 4．4； 5．
； 6．
； 7．
；

8．
； 9．4； 10．
11．4； 12．

13．
14．①④。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．
； 16．
； 17．
18．
。

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．

19． 解：（1）连结
，
，

直线
与平面
所成的角等于直线
与平面
所成的角.

连结
,连结
，

是直线
与平面
所成
的角.……………………………2分

中，
，…………………………………………4分

.

直线
与平面
所成的角等于
.……………………6分

（2）
正四棱柱
的底面边长是
，体积是
，

.………………………………………………………………………8分

；

，……………………11分

多面体
的体积为
.……………………………………12分

（文）（1）连结
,
，

就是异面直线
与
所成角.…………………………………2分

在
，………………………………4分

，
.

所以异面直线
与
所成角为
. …………………………6分

20． 解：（1）设
.由
，得
①………………………2分

又向量
与向量
的夹角为
，得
②……………………………4分

由①、②解得
或
，
或
.………………5分

（2）向量
与
共线知
；……………………………………………6分

由
知
.………………………7分

， ……………………………8分

…………………………9分

.………11分

，…………12分

得
，即
，…………………………13分

.…………………………………………………………14分

21．解：（1）
，………………………………………2分

画图正确.…………………………………………………………………………4分

当
时，由
，得
，此时无实根；

当
时，由
，得