2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学（文科） 2013.4

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：2013-4-18

1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．

参考公式：棱锥的体积公式：
．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
的实部为
，且
，则复数
的虚部是

A．
B．
C．
D．

3．已知命题
：
，
，那么
是

A．
，

B．
，



C．
，

D．
，



4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是

A．30 B．60

C．70 D．80

5．函数
，
,则

A．
为偶函数，且在
上单调递减;

B．
为偶函数，且在
上单调递增;

C．
为奇函数，且在
上单调递增;

D．
为奇函数，且在
上单调递减.

6．设等比数列
的前
项和为
，则“
”是“
”的



 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．已知幂函数
，当
时，恒有
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8．设
、
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：

① 若
则
②若
，
，则

③ 若
，则
④若
，则

其中真命题的序号是

A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③

9．直线
与不等式组
表示平面区域的公共点有

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

10．已知平面上的线段
及点
，在
上任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段
的距离，记作
．设
是长为2的线段，点集
所表示图形的面积为ks5u

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题(11～13题)

11．已知向量
满足
,
,则向量
与
的夹角为 .

12．已知圆
经过点
和
,且圆心
在直线
上,则圆
的方程为 .

13．将集合{
|
且
}中的元素按上小下大，

左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于

第
行第
列的数记为
（
）,则
= .

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线
与
的交点分别为
，则线段
的垂直平分线的极坐标方程为 ．

15．（几何证明选讲）如图，圆
的直径
，

直线
与圆O相切于点
，
于D，

若
，设
，则
______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系
中，以
为始边，角
的终边与单位圆
的交点
在第一象限，

已知
.

（1）若
,求
的值.

（2）若
点横坐标为
,求
.

17．（本题满分12分）

市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，

（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;

（2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的

道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道

相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？

ks5u

18．（本题满分14分）

如图，在四棱柱
中， 已知底面
是边长为
的正方形， 侧棱
垂直于底面
，且
．

（1）点
在侧棱
上，若
，

求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积
．

19．（本题满分14分）

已知椭圆
和抛物线
有公共焦点
,
的中心和
的顶点都在坐标原点，直线
过点
.

（1）写出抛物线
的标准方程；

（2）若坐标原点
关于直线
的对称点
在抛物线
上，直线
与椭圆
有公共点，求椭圆
的长轴长的最小值.

20．（本题满分14分）

环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计
年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为

，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积

，前四年每年以
的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加

.设第

)年新城区的住房总面积为

，该地的住房总面积为

.

（1）求
的通项公式；

（2）若每年拆除

，比较
与
的大小.

21．（本题满分14分）

已知函数
，
，
是常数.

（1）求
的单调区间；

（2）若
有极大值，求
的取值范围.

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学（文科） 评分参考

一、填空题 BDBCACBDBD

二、填空题

11．
12．
13．

14．
（或
） 15．

三、解答题

16．⑴解法1、

由题可知：
，
， ……1分

，
……2分

，得
……3分

∴
，
……4分

解法2、

由题可知：
，
……1分

，
……2分

∵
，∴
……3分

， 得
……4分

解法3、

设
，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）

⑵解法1、

由⑴
， 记
，

∴
，
（每式1分） ……6分

∵

，得
（列式计算各1分） ……8分

（列式计算各1分） ……10分

∴

（列式计算各1分） ……12分

解法2、

由题意得：
的直线方程为
……6分

则
即
（列式计算各1分） ……8分

则点
到直线
的距离为
（列式计算各1分） ……10分

又
，∴
（每式1分）…12分

解法3、

即
（每式1分） ……6分

即：
，
， ……7分

，
，
……9分

（模长、角的余弦各1分）

∴
……10分

则
（列式计算各1分） ……12分

解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）

17．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分，3-5个2分，5-7个3分，7-11个4分，） ……5分

共12种情况 ……6分

⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分

共4种情况， ……8分

所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率
（文字说明1分）……12分

18．⑴解法1、

依题意，
，
，在
中，
……1分

同理可知，
，
（每式1分） ……3分

所以
， ……4分

则
， ……5分

同理可证，
， ……6分

由于
，
平面
，
平面
， ……7分

所以，
平面
． ……8分

解法2、

由
（或
）和
证明
平面
（证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）

⑵解法1、

如图1，易知三棱锥
的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即
（文字说明1分）……11分

……13分

……14分

解法2、

依题意知，三棱锥
的各棱长分别是

，
（每式1分）……10分

如图2，设
的中点为
，连接
，

则
，
，且
，

于是
平面
， ……12分

设
的中点为
，连接
，则
，且
，

则三角形
的面积为
， ……13分

所以，三棱锥
的体积
． ……14分

19．⑴由题意，抛物线
的焦点
，则
……2分

所以方程为：
． ……3分

⑵解法1、

设
，则
中点为
， ……4分

因为
两点关于直线
对称，所以
（每方程1分）……6分

即
，解之得
， ……7分

将其代入抛物线方程，得：
，所以
（列式计算各1分）……9分

联立
，消去
，得：
……11分

由
，得
， ……12分

注意到
，即
，所以
，即
， ……13分

因此，椭圆
长轴长的最小值为
. ks5u ……14分

解法2、

设
，因为
两点关于直线
对称，则
， ……5分

即
，解之得
ks5u ……6分

即
,根据对称性,不妨设点
在第四象限，且直线与抛物线交于
如图.则
,于是直线
方程为
（讨论、斜率与方程各1分） ……9分

联立
，消去
，得：
……11分

由
，得
， ……12分

注意到
，即
，所以
，即
， ……13分

因此，椭圆
长轴长的最小值为
. ……14分

20．⑴设第
年新城区的住房建设面积为

，则当
时，
；……1分

当
时，
. ……2分

所以, 当
时，
……3分

当
时，

（列式1分）……5分

故
……6分

⑵
时，
，
，显然有
……7分

时，
，
，此时
. ……8分

时，
，
（每式1分）……10分

. ……11分

所以,
时，
；
时，
.
时，显然
……13分

（对1-2种情况给1分，全对给2分）

故当
时，
；当
时，
. ……14分

21．⑴
……1分

设
，其判别式
……2分

①当
时，

，
,
在定义域
上是增函数； ……3分

当
时，由
解得：

（每个根1分）……5分

②当
时，
，
；又
，
，故
，即
在定义域
上有两个零点

在区间
上，
，
，
，
为
上的增函数

在区间
上，
，
，
，
为
上的增函数

在区间
上，
，
，
,
为
上的增函数. ……6分

③当
时，
，在区间
上，
，
，
；在区间
上，
，
，
， ……7分

④当
时，函数
的定义域是
，
，
在
上有零点
，在
上有零点
；在区间
和
上，
，
在
和
上为增函数；在区间
和
上，
，
在
和
上位减函数. ……8分

综上: 当
时,函数
的递增区间是
；当
时,
的递增区间是
和
,递减区间是
；当
时，
的递减区间是
；递增区间是
；当
时，
的递减区间
和
,递增区间是
和
. ……9分

⑵当
时，
的定义域是
，当
时，
的定义域是
，
，令
，则
（每个导数1分） ……11分

在区间
上，
，
是增函数且
；

在区间
上，
，
是减函数且
；

当
时，
. ……12分

故当
时，
，
无极大值；

当
时，
，方程
在区间
和
上分别有一解
，此时函数
在
处取得极大值； ……13分

当
时，方程
在区间
上有一解
，此时函数
在
处取得极大值.

综上所述，若
有极大值，则
的取值范围是
. ……14分