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福建省龙岩市2013届高三临考适应性检测理科数学卷1

第I卷（选择题，共50分）

选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

1.如果复数
为纯虚数，那么实数
的值为（ ）

A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2

2. 已知平面向量
=（1，－3），
=（4，－2），
与
垂直，则
是（ ）

A. 1 B. 2 C. －2 D. -1

3.已知数列﹛
﹜为等差数列，且
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 设
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题

①
；②
；③
；④
；

其中正确的命题是（ ）

A．①④ 　　　 B．②③ 　　　　

C．①③ 　　　　　 D．②④

5. 如右图，程序框图所进行的求和运算是（ ）

A． + + + … + 

B．1 + + + … + 

C． 1 + + + … + 

D． + + + … + 

6.已知函数
的图象的一条对称轴是
，则函数
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知条件
：
，条件
：
，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到
、
、
三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到
馆，则不同的分配方案有( )

A.
种 B.
种 C.
种 D.
种

9. 某地2011年降雨量
与时间X的函数图象如图所示，定义“落量差函数”
为时间段
内的最大降雨量与最小降雨量的差，则函数
的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

10. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义
，
，…，
，n=1，2，3，…．满足
的点x∈[0，1]称为f的
阶周期点．设
则f的
阶周期点的个数是( )

A. 2n

B. 2(2n-1)

C. 2n

D. 2n2





第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

11. 在二项式
的展开式中，第四项的系数是 .

12．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点
，

则点M取自阴影部分的概率为_______________.

13. 在平面直角坐标系中，不等式组
，
为常数）所表示的平面区域的面积是9，则实数
的值是_________________.

14. 设F为抛物线
的焦点，点A在抛物线上，O为坐标原点，

若
，且
，则抛物线的焦点到准线的距离等于 .

15. 在空间直角坐标系中，对其中任何一向量
，定义范数
，它满足以下性质：
，当且仅当
为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数
，
（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）
。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量
，下面给出的几个表达式中，可能表示向量
的范数的是_____ _______.（把所有正确答案的序号都填上）

（1）
（2）
（3）
（4）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分13分)

设
中的内角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，且
,
.

（Ⅰ）当
时，求角
的度数；（Ⅱ）求
面积的最大值.

17.（本小题满分13分）

已知圆
的圆心为
，

一动圆与圆
内切，与圆
外切。

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹方程；

（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点
，使得
为钝角？若存在，求出
点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

18. (本小题满分13分)

如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，
为等边三角形，

又平面PAD⊥平面ABCD．

s.5（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求
的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

19.(本小题满分13分)

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第
层第
个竖直通道（从左至右）的概率为
．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）

（Ⅰ）求
的值，并猜想
的表达式．（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第
个竖直通道得到分数为
，

其中
，试求
的分布列及数学期望．

20.（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：

.

21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.

1.(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

如果曲线

在矩阵
的作用下变换得到曲线
，　　　求
的值。

2.(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线与
轴的交点是
，
是曲线
上一动点，求
的最大值．

3.（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）解不等式
； （2）若
的取值范围。

参考答案

一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

D

B

C

A

B

A

C

B

C



二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11. ____ 160__________. 12. ____
_____ .

13. ______1___________. 14. 4 .

15. ____（4）_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

16. (本小题满分13分)设
中的内角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，且
,
（Ⅰ）当
时，求角
的度数；（Ⅱ）求
面积的最大值.

解：（Ⅰ）因为
，所以
. …………2分

因为
，
，由正弦定理
可得
. …………4分

因为
，所以
是锐角，所以
. ……………6分

（Ⅱ）因为
的面积
， ……… ……7分

所以当
最大时，
的面积最大.

因为
，所以
. ……………9分

因为
，所以
， …… … ……11分

所以
，（当
时等号成立） …… ……12分

所以
面积的最大值为
. ……… …13分

17.（本小题满分13分）已知圆
的圆心为
，一动圆与圆
内切，与圆
外切。

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹方程；

（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点
，使得
为钝角？若存在，求出
点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

解: （Ⅰ）设动圆P的半径为r,则

两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|

由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为
，实轴长为4的椭圆

其方程为
…………6分

（Ⅱ）假设存在，设
（x,y）.则因为
为钝角，所以

，
，

又因为
点在椭圆上，所以

联立两式得：
化简得：
，

解得：
，所以存在。…… 13分

18. (本小题满分13分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，
为等边三角形，

又平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求
的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

解：（Ⅰ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD………2分

建立如图的空间直角坐标系，则
,设Q（t，2，0），

则
＝（t，2，－
），
＝（t
，2，0）． ∵PQ⊥QD，∴
．

∴
,等号成立当且仅当t=2．

故
的取值范围为
． …………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
，
=8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）,
．

设
是平面
的法向量，
＝（2，2，
），

＝（-2，2，0）． 由
，得．

取
，则
是平面
的一个法向量．

而
是平面
的一个法向量，

设二面角A－PD－Q为
，由
．

∴二面角A－PD－Q的余弦值为
． ……13分

19.(本小题满分13分)

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第
层第
个竖直通道（从左至右）的概率为
．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）

（Ⅰ）求
的值，并猜想
的表达式．（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第
个竖直通道得到分数为
，其中
，

试求
的分布列及数学期望．

【解析】

（Ⅰ）
，…………2分

…………4分

…………6分

（Ⅱ）

1

2

3













 …………11分

…………13分

20.（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：

.

解：（Ⅰ）
的定义域为（0，+∞），
…2分

当
时，
＞0，故
在（0，+∞）单调递增；

当
时，
＜0，故
在（0，+∞）单调递减；……………4分

当0＜
＜1时，令
=0，解得
.

则当
时，
＞0；
时，
＜0.

故
在
单调递增，在
单调递减. …………6分

（Ⅱ）因为
，所以当
时，
恒成立

令
，则
, ……………8分

因为
，由
得
，

且当
时，
；当
时，
.

所以
在
上递增，在
上递减.所以
，故
……10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当
时，有
，当
时，
即
，

令
，则
，即
…………12分

所以
，
，…，
，

相加得

而

所以
，
.…… ………………14分

21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.

1.(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

如果曲线

在矩阵
的作用下变换得到曲线
，求
的值。

解：设点
在矩阵
的作用下变换得到
，

则

，所以
……………4分

则
，展开，得

比较系数得：
　　　………6分

解得　
，　所以
…………………7分

2.(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线与
轴的交点是
，
是曲线
上一动点，求
的最大值．

解：（1）曲线
的极坐标方程可化为
． ……………1分

又
,

所以曲线
的直角坐标方程为
． ………………3分

（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得
．……………4分

令
,得
,即
点的坐标为(2,0)．

又曲线
为圆，圆
的圆心坐标为(1,0)，半径
，则
． ………6分

所以
． …………………7分

3.（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）解不等式
；

（2）若
的取值范围。

（1）∵

∴当x<1时，3－2x>3，解得x<0；

当1
无解

当x>2时2x－3>3，解得x<3.

综上，x<0或x>3，

∴不等式f（x）>3的解集为
……………………4分

（2）∵
∴

∵
恒成立

∴a<1，即实数a的取值范围是
………………………………7分