江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试

理科数学试题

第I卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数
（其中
是虚数单位），则复数
在坐标平面内对应的点在 （ ）

第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

【解析】：
，在第一象限，故选A。

2.已知
，则
的大小关系是（ ）

A.
B.

C.
D.

【解析】：容易得出a＜b，又知a＞1＞c，故选A。

3.将函数
图像上所有的点向左平行移动
个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（ ）

A.
B.

C.
D.
【解析】：向左平移π/6，得到
,扩大为原来的2倍，得
故选B。

4.
（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

【解析】：函数
存在零点，则
，是充分不必要条件，故选A。

5.若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）

A.
B.
C.
D.8

主视图 左视图 俯视图

【解析】：
，故选C。

6.下列四个判断：

①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是
，某次测试数学平均分分别是
，则这两个班的数学平均分为
；②从总体中抽取的样本
则回归直线
③已知
服从正态分布

其中正确的个数有（ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【解析】：①错；②必过（3,3.5）；(对，故选B

7.将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（ ）

A.18种 B.36种

C.48种 D.60种

【解析】：当甲一人住一个寝室时有：
种，当甲和另一人住一起时有：
，所以有12+48=60种，故选D。

8.已知点
内任意一点，点
是圆上任意一点，则实数
（ ）

A.一定是负数 B.一定等于0

C.一定是正数 D.可能为正数也可能为负数

【解析】：令
，

，又因为
小于1，所以必定是负数，故选A。

9.等差数列
的前n项和为
，公差为d，已知
，

，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

【解析】：通过求导易知
＞0，
＜0.所以d＜0；
，可求出
，得出
，故选C。

10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,设
,以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为
，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为
，设
=
则
的大致图像是（ ）

【解析】：用特殊值法，当
时，
，
，易知D选项正确，故选D。

第II卷

二填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

曲线

=
(0
x

)与坐标轴所围成的图形面积是
________________.

【解析】：

已知集合A=
{y|y=
+2x,-2≤x≤2}, B={x|
+2
-3≤0},在集合中任意取一个元素a,则
的概率是

【解析】：
,
,
.

执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2，则输出的p值是______________.

【解析】：
,因此答案是4.

观察下面两个推理过程及结论：

若锐角A，B，C满足A+B+C=
,以角A，B，C分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：
A=
B+
C
2
,

若锐角A，B，C满足A+B+C=
，则（

）+（

）+（

）=
，以角

，

，

分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：

=





2

.

则：若锐角A,B,C满足A+B+C=
，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是______________.【解析】：根据提示，容易得出
。

选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系下
中，直线
的参数方程是

.圆C的参数方程为

则圆C的圆心到直线
的距离为_______________

【解析】：直线L：
；圆C：
.

（2）（不等式选做题）设
若不等式
≥
对任意实数

恒成立，则
的取值集合是________________.

【解析】：
的最大值为3，从而
，解出

解答题：本大题共6小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

南昌市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通，把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组
、第2组
、第3组
、第4组
、第5组
，得到的频率分布直方图如图所示：

⑴若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持交通，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？

⑵在⑴的条件下，南昌市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者到学校宣讲交通安全知识，若
表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求
的分布列和数学期望.

【解析】：（1）由题意可知，第3组的人数为
，第4组的人数为
，第5组的人数为
。…………………3分

所以利用分层抽样在
名志愿者中抽取
名志愿者，每组抽取的人数为：

第3组
，第4组
，第5组
……………6分

（2）
的所有可能取值为0,1,2,3，

，
，
，
，……………………………………………………………………10分

所以，
的分布列为：

0

1

2

3















所以
的数学期望
………………………………………………………………12分

17.（本小题满分12分）

已知向量


，

当
时，求函数
的值域：

锐角
中，
分别为角
的对边，若，求边

【解析】：（1）
，所以

，…3分

即

，………………………………………………………………4分

当
时，
，
，

所以当
时，函数
的值域是
；……………………………6分



























































（2）由
，得
，又
，

所以
，………………………………………………………………………8分

因此”
, ……9分

由余弦定理
，得
， ……11分

所以：
。……………………………………………………………………12分

（本小题满分12分）

右表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知

⑴求数列
的通项公式；

⑵设
求数列
的前
项和
。

【解析】：（1）设第一行依次组成的等差数列的公差是
，等比数列的公比是

，

则
， ……………………………………………2分

， ……………………………………………4分

解得：
，所以：
；……………………………6分

（2）
，

，……………………………8分

记
，则
，

两式相减得:
,所以
,……10分

所以
为偶数时，
，
为奇数时，
。……12分

19、（本小题满分12分）如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，
点H,G分别是线段EF,BC的中点.

求证：平面AHC
平面BCE;

点
在直线
上，且EF//平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值。

【解析】：（1）证明：在菱形
中，因为
，所以
是等边三角形，

又
是线段
的中点，所以
，

因为平面

平面
，所以
平面
，所以

；……2分

在直角梯形
中，
，
，得到：
，从而
，所以
，……………………4分

所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
；………6分

（2）由（1）
平面
，如图，分别

以
所在直线为
轴，
轴，
轴

建立空间直角坐标系，

则
，

………7分

设点
的坐标是
，则
共面，

所以存在实数
使得：

，

得到:
.即点
的坐标是:
, ………8分

由（1）知道：平面
的法向量是
，

设平面
的法向量是
，

则：
，………………………9分

令
，则
，即
，

所以
，………………………………………………11分

即平面
与平面
所成角的余弦值是
。…………………………………12分

20.（本小题13分） 已知椭圆C：
的离心率等于
，点P
在椭圆上。

⑴求椭圆C的方程；

⑵设椭圆C的左右顶点分别为A,B，过点
的动直线
与椭圆C相交于M,N两点，是否存在定直线
：
，使得
与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的
值；若不存在，说明理由。

【解析】：（1）由
，………………………………………2分

又点
在椭圆上，
， ……………………………………4分

所以椭圆方程是：
；……………………………………………………………5分

（2）当
垂直
轴时，
，则
的方程是：
，

的方程是：
，交点
的坐标是：
，猜测:存在常数
,

即直线
的方程是:
使得
与
的交点
总在直线
上, ……………………6分

证明：设
的方程是
，点
，

将
的方程代入椭圆
的方程得到：
，

即：
，………………………………………………7分

从而：
，……………………………………………8分

因为：
，

共线

所以：
，
，………………………………………………9分

又
，

要证明
共线，即要证明
，………………………………10分

即证明：
，

即：
，

即：

因为：
成立，…………………12分

所以点
在直线
上。

综上:存在定直线
:
,使得
与
的交点
总在直线
上,
的值是
。……13分

（本小题满分14分）

已知函数

当
时，讨论函数
的单调性：

若函数
的图像上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为
，使得
在点
处的切线
与直线AB平行或重合，则说函数
是“中值平衡函数”，切线
叫做函数
的“中值平衡切线”。试判断函数
是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数
的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由。

【解析】：（1）
……………………………………1分

当
即
时，

，函数
在定义域
上是增函数；……2分

当
即
时,由
得到
或
，……4分

所以：当
时，函数
的递增区间是
和
，递减区间是
；…………………………………………………………………………5分

当
即
时，由
得到：
，

所以:当
时,函数
的递增区间是
,递减区间是
；……7分

（2）若函数
是“中值平衡函数”，则存在
（
）使得

即
，

即
，（*）………………………………………………………4分

当
时，（*）对任意的
都成立，所以函数
是“中值平衡函数”，且函数
的“中值平衡切线”有无数条； …………………………………………………8分

当
时，设
，则方程
在区间
上有解，………………10分

记函数
，则
，…………………12分

所以当
时，
，即方程
在区间
上无解，

即函数
不是“中值平衡函数”.………………………………………………………14分