江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试

数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 已知集合
，
，则
▲ ．

2． 设复数
满足
（是虚数单位），则复数
的

模为 ▲ ．

3． 右图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

4． “
”是“
”成立的 ▲ 条件．

（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）

5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆

机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布

直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动

车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时

段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．

6． 在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．

7． 从集合
中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．

8． 在平面直角坐标系
中，设点
为圆
：
上的任意一点，点
(2
，
)

(
)，则线段
长度的最小值为 ▲ ．

9． 函数

，
，
在
上

的部分图象如图所示，则
的值为 ▲ ．

10．各项均为正数的等比数列
中，
．当
取最小值时，数列
的通项公式an= ▲ ．

11．已知函数
是偶函数，直线
与函数
的图象自左向右依次交于四个不同点
，
，
，
．若
，则实数的值为 ▲ ．

12．过点
作曲线
：
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是点
，过点
再作曲线
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是点
，…，依次下去，得到第

个切点
．则点
的坐标为 ▲ ．

13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB
，
，CD
．

若
，则
的值为 ▲ ．

14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1
a2
a3
，a1a42
a2a4
a2
，且a1
a2
a3，则a4的取值范围是 ▲ ．

二、解答题

15．如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，四条侧棱长均相等．

（1）求证：

平面
；

（2）求证：平面
平面
．

16．在△ABC中，角
，
，
所对的边分别为
，
，c．已知
．

（1）求角
的大小；

（2）设
，求T的取值范围．

17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为
的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为
的均匀介质，两侧的温度差为
，单位时间内，在单位面积上通过的热量
，其中
为热传导系数．

假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为
，空气的热传导系数为
．）

（1）设室内，室外温度均分别为
，
，内层玻璃外侧温度为
，外层玻璃内侧温度为
，且
．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用
，
及
表示）；

（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计
的大小？

18．如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的右焦点为
，离心率为
．分别过
，
的两条弦
，
相交于点
（异于
，
两点），且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线
，
的斜率之和为定值．

19．已知数列
是首项为1，公差为
的等差数列，数列
是首项为1，公比为
的等比数列．

（1）若
，
，求数列
的前
项和；

（2）若存在正整数
，使得
．试比较
与
的大小，并说明理由．

20．设
是定义在
的可导函数，且不恒为0，记
．若对定义域内的每一个
，总有
，则称
为“
阶负函数”；若对定义域内的每一个
，总有
，则称
为“
阶不减函数”（
为函数
的导函数）．

（1）若
既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数
的取值范围；

（2）对任给的“2阶不减函数”
，如果存在常数
，使得
恒成立，试判断
是否为“2阶负函数”？并说明理由．

数学附加题

21．【选做题】

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为3，两条弦
，
交于点
，且
，
，
．

求证：△
≌△
．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵

不存在逆矩阵，求实数
的值及矩阵
的特征值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知
，
，
，
，其中
．设直线
与
的交点为
，求动点
的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．

D．选修4—5：不等式选讲

已知
，
，
．求证：
．

22．【必做题】

设
且
，证明：

．

23．【必做题】

下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的
，
，
，
．游戏规则如下：

① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；

② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；

（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．

设某人参加该游戏一次所获积分为
．

（1）求
的概率；

（2）求
的概率分布及数学期望．

南通市2013届高三第三次调研测试

数学参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 已知集合
，
，则
▲ ．

【答案】

2． 设复数
满足
（是虚数单位），则复数
的

模为 ▲ ．

【答案】

3． 右图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

【答案】

4． “
”是“
”成立的 ▲ 条件．

（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）

【答案】必要不充分

5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆

机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布

直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动

车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时

段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．

【答案】

6． 在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦

点到准线的距离为 ▲ ．

【答案】4

7． 从集合
中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为

▲ ．

【答案】

8． 在平面直角坐标系
中，设点
为圆
：
上的任意一点，点
(2
，
)

(
)，则线段
长度的最小值为 ▲ ．

【答案】

9． 函数

，
，
在
上

的部分图象如图所示，则
的值为 ▲ ．

【答案】

10．各项均为正数的等比数列
中，
．当
取最小值时，数列
的通项公式an= ▲ ．

【答案】

11．已知函数
是偶函数，直线
与函数
的图象自左向右依次交

于四个不同点
，
，
，
．若
，则实数的值为 ▲ ．

【答案】

12．过点
作曲线
：
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是点
，过点
再作

曲线
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是点
，…，依次下去，得到第

个

切点
．则点
的坐标为 ▲ ．

【答案】

13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB
，
，CD
．

若