广东省韶关市2013届高三第三次调研考试

数学试题(理科)

本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.

注意事项：

考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；

选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；

考试结束，考生只需将答题案交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

如果事件
、
互斥，那么
．

如果事件
、
相互独立，那么
．

第一部分 选择题(共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.　已知复数
，则

A．
B．
C．
D．

2. 设全集
且
,
,则

A.
B.
C.
D.

3. 椭圆
的焦点在
轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
的值为（ ）

A．
B．
C． 2 D．4

4.
中，
，
，
，则

A．
B．
C．
D．
或

5. 已知等差数列
的前
项和为
，且
，则过点
和

N*)的直线的斜率是

A．4 B．3 C．2 D．1

6.已知函数
，且
，
的导函数，函数
的图象如图所示. 则平面区域
所围成的面积是

A．2 B．4 C．5 D．8

7. 一台机床有
的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是
,

加工B时,停机的概率是
, 则这台机床停机的概率为( )

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数
的图象恰好通过
个整点，则称函数
为
阶整点函数。有下列函数：

； ②
③
④
，

其中是一阶整点函数的是( )

A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④

第二部分 非选择题(共110分)

二.填空题(每小题5分,共30分)

9. 若奇函数
的定义域为
，则
=

10. 计算

11.已知正三角形内切圆的半径是高的
，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________.

12.右图是用二分法求方程
在
的近似解的程序框图，要求解的精确度为
，①处填的内容是____________, ②处填的内容是______________________.

第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分

13. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线
和
上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是　　

14. 如图，圆
是
的外接圆，过点C的切线交
的延长线于点
，
，
。则
的长______________，
的长______________．

15. 已知
且
,

则
.

16.(本题满分12分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和

平均分；

(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，

求他们在同一分数段的概率.

17.(本题满分12分)

已知

，

（Ⅰ）求函数
的最小正周期;

(Ⅱ) 当
,求函数
的零点.

18. (本题满分14分)

如图，在三棱拄
中，
侧面
，已知

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）试在棱
(不包含端点
上确定一点
的位置,使得
；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角
的平面角的正切值.

19. (本题满分14分)

在平面直角坐标系
中，设点
(1，0)，直线
:
，点
在直线
上移动，
是线段
与
轴的交点,
.

(Ⅰ)求动点
的轨迹的方程；

(Ⅱ) 记
的轨迹的方程为
，过点
作两条互相垂直的曲线
的弦
、
，设
、
的中点分别为
．求证：直线
必过定点
．

20．(本题满分14分)

已知数列
中,
,且

(Ⅰ)求证：

;

(Ⅱ)设
,
是数列
的前
项和,求
的解析式;

(Ⅲ)求证：不等式
对
恒成立.

21. (本题满分14分)

已知函数
(其中
) ,

点
从左到右依次是函数
图象上三点,且
.

(Ⅰ) 证明: 函数
在
上是减函数；

(Ⅱ) 求证：⊿
是钝角三角形;

(Ⅲ) 试问,⊿
能否是等腰三角形?若能,求⊿
面积的最大值;若不能,请说明理由．

2013届高三调研考试数学试题(理科)答案及评分标准

一、选择题答案 CCABA BAC

二、填空题

题号

9

10

11

12

13

14

15



答案



6







4，

1



三、解答题

16.(本题满分12分)

（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

……2分

直方图如右所示……………………………….4分

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为

所以，抽样学生成绩的合格率是
%......................................6分

利用组中值估算抽样学生的平均分

………………….8分

＝

＝71

估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分

（Ⅲ）
，
，
”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

……………………………………………………12分

17.(本题满分12分)

解：（Ⅰ）
=
…………………….4分

故
…………………………………………………5分

（Ⅱ）令
，
=0，又

…… ………….7分

…………………………………………9分

故
函数
的零点是
……………. 12分

18．(本题满分12分)

证（Ⅰ）因为
侧面
，故

在
中，
由余弦定理有

故有

而
且
平面

（Ⅱ）由

从而
且
故

不妨设
，则
，则

又
则

在
中有
从而
（舍负）

故
为
的中点时，

法二：以
为原点
为
轴，设
，则
由
得
即

化简整理得

或

当
时
与
重合不满足题意

当
时
为
的中点

故
为
的中点使

（Ⅲ）取
的中点
，
的中点
，
的中点
，
的中点

连
则
，连
则
，连
则

连
则
，且
为矩形，

又
故
为所求二面角的平面角

在
中，

法二：由已知
， 所以二面角
的平面角
的大小为向量
与
的夹角

因为

故

.

19. (本题满分1