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江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷1

数学（?）（正题）

一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置.

1.某校共有学生
名，各年级人数如下表所示：

年级

高一

高二

高三



人数

800

600

600



现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 ．

2.若命题“
，
”为真命题，则实数
的取值范围是 ．

3.某程序框图如图所示，若输出的
，则自然数
．

4.若直线
与直线
垂直，则
．

5.已知集合
，
，若
，则整数
．

6.一根绳子长为
米，绳上有
个节点将绳子
等分，现从
个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于
米的概率为 ．

若复数
满足
（其中为虚数单位），则
的最大值为 ．

已知向量
的模为2，向量
为单位向量，
，则向量
与
的夹角大小为 ．

在等比数列
中，已知
,
,则
．

10.函数
在
上的单调递增区间为 ．

11.过圆
内一点
作两条相互垂直的弦
，
，当
时，四边形
的面积为 ．

12.若
是定义在
上周期为2的周期函数，且
是偶函数，当
时，
，则函数
的零点个数为 ．

13.设
是定义在
上的可导函数，且满足
.则不等式
的解集为

在等差数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
，若
对
恒成立，则正整数
的最小值为 ．

解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.

（本小题满分14分）

在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
在
上.

求证：平面
平面
；

当
平面
时，求
：
的值.

（本小题满分14分）

设
的内角
，
，
的对边长分别为
，
，
，且

求证：
；

若
，求角
的大小.

17（本小题满分14分）

因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即
=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客
的眼睛
到地面的距离
(cm)在区间[140,180]内.设支架
高为
(0<
<90)cm，
=100cm,顾客可视的镜像范围为
（如图所示），记
的长度为
(
).

当
=40cm时，试求
关于
的函数关系式和
的最大值；

当顾客的鞋
在镜中的像
满足不等关系
(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求
的取值范围.

（本小题满分16分）

已知椭圆
的离心率为
，且过点
，记椭圆的左顶点为

求椭圆的方程；

设垂直于
轴的直线交椭圆于
，
两点，试求
面积的最大值；

过点
作两条斜率分别为
，
的直线交椭圆于
，
两点，且
，求证：直线
恒过一个定点.

19（本小题满分16分）

在数列
中，
,且对任意的
,
成等比数列，其公比为
.

（1）若
=2(
),求
；

（2）若对任意的
，
，
，
成等差数列，其公差为
，设
.

① 求证：
成等差数列，并指出其公差；

②若
=2,试求数列
的前
项的和
.

已知函数

.

若
=2,求
在
上的最小值；

若
时，
，求
的取值范围；

求函数
在
上的最小值；

数学（Ⅱ）（附加题）

选做题

.选修
：几何证明选讲

如图，等边三角形
内接于圆
，
为劣弧
上一点，连结
，
并延长分别交
，
的延长线于点
，
.

求证：

.选修
：矩阵与变换

已知二阶矩阵
将点
变换为
，且属于特征值
的一个特征向量是
，求矩阵

.选修
：坐标系与参数方程

已知点
在椭圆
上，试求
的最大值.

.选修
：不等式选讲

设
，
，
均为正数，且
.求证：

（本小题满分10分）

甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为
，乙，丙的命中率均为
（
）.现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量
.

当
时，求数学期望
；

当
时，试用
表示
的数学期望
.

23.某班级共派出
个男生和
个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有
种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有
种选法.

（1）试求
和
；

（2）判断
和
的大小（
），并用数学归纳法证明.

参考答案