汕头一中2013年高三下学期4月模拟考试

数学理试题

本试卷共页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填在答题卡上。

集合
，
则下列结论正确的是



















若
的展开式中
的系数是
，则实数
的值是

















设
，且
为正实数，则

















已知命题
：
，当
时，
；命题
恒成立，则下列命题是假命题的是

















正项等比数列
满足
，
，
，则数列
的前
项和是

















已知
是平面上的三个点，直线
上有一点
，满足
，则

















若实数
满足
则
的最小值是

















函数
的图象如下图，则

























第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卷上。

（一）必做题（9～12题）

请写出下面运算输出的结果_____________．

从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________________种．

过点
的直线
与圆
交于
两点，
为圆心，当
最小时，直线
的方程是_____________．

观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中有 _______________个小正方形.

（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，极点到曲线
的距离是_____________．

（不等式选讲选做题）若
为正实数，
，则
的最大值是_____________．

（几何证明选讲选做题）如图，⊙
的直径
的延长线与弦
的延长线相交于点
，点
是⊙
上一点，
，
交
于点
，且
，则
_____________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分。见答题卷。

数学（理科）试题 答题卷

题号

一

二

三

总分





1－8

9－15

16

17

18

19

20

21





评分























一、选择题：请将答案填在答题卡上。

二、填空题：请将答案填在相应题号的空格上。

9. ________________ 10.________________ 11.________________ 12.________________

13.________________ 14.________________ 15.________________

三．解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

16．(本小题满分12分)

在
中，已知角
、
、
所对的三条边分别是
、
、
，且
．

（1）求证：
；

（2）求函数
的值域．

17．(本小题满分14分)

某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有
次选题答题的机会，选手累计答对
题或答错
题即终止其初赛的比赛，答对
题者直接进入决赛，答错
题者则

被淘汰．已知选手甲答题的正确率为
．

（1）求选手甲可进入决赛的概率；

（2）设选手甲在初赛中答题的个数为
，试写出
的分布列，并求
的数学期望．

18．(本小题满分14分)

已知数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图像上．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
是数列
的前
项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数
．

19．(本小题满分14分)

已知抛物线
：
，过焦点
的动直线
交抛物线于
、
两点，
为坐标原点．

（1）求证：
为定值；

（2）设
是线段
的中点，过
作
轴的垂线交抛物线
于点
，证明：抛物线
在点
处的切线与
平行．

20．(本小题满分12分)

已知函数
．

（1）求函数
的极值；

（2）若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围．

21．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系中，已知点
、
，
是平面内一动点，直线
、
的斜率之积为
．

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）过点
作直线
与轨迹
交于
、
两点，线段
的中点为
，求直线
的斜率
的取值范围．

2013年4月汕头一中高三模拟考试

数学答案

一、选择题：DDDB DABA

二、填空题：

9.
； 10.
； 11.
； 12.
、
； 13.
； 14.
； 15.
；

三．解答题：

16.（1）

由余弦定理得
--------------------------------（3分）

又
--------------------------------（2分）

（2）
--------------（4分）

，即：函数的值域是
---------------------------------（3分）

17.（1）选手甲答
道题可进入决赛的概率为
；

选手甲答
道题可进入决赛的概率为
；

选手甲答5道题可进入决赛的概率为
；

∴选手甲可进入决赛的概率
+
+

． ------------------------------（6分）

（2）依题意，
的可能取值为
． -----------------------------（1分）

则
， ------------------------------（1分）

， ---------------------------（1分）

， ----------------------------（1分）

因此，有



















-----------------------------（2分）

． ------------------------------（2分）

18. （1）依题意：
------------------------------（2分）

当
时，
；当
时，

∴
-----------------------------（4分）

（2）∵
----------------------------（2分）

∴
--------------------（2分）

依题意：
，
，即：
，

∴
，即：最小的正整数
-----------------------------（4分）

19. （1）设直线
的方程为：
，
，
。 -------------------------（1分）

由
得：
，∴
------------------------（4分）

∴
为定值----------------------------（3分）

（2）由（1）得：点
的横坐标为
，∴点
的横坐标为
----------------------------（3分）

∵
∴
----------------------------（3分）

∴…平行

另解：设
，则
，
----------------------------（2分）

设抛物线
在点
处的切线为

由
得：
-------------------------------（2分）

∴
，解得：
-------------------------------（2分）

∴…平行

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