康杰中学2013年数学（文）模拟试题（一）

2013.4.20

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

设全集U=R，集合
，则集合
=（ ）A.
B.
C.
D.

在复平面内，复数
对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

已知数列
是等差数列，且
，则
的值为（ ）A.
B.
C.
D.

双曲线
有一个焦点与抛物线
的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.
B.
C.
D.

函数
与
图形的交点为（a,b），则a所在区间是（ ）A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）

按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 k#s5u

一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于（ ）A.
B.
C.
D.

函数
（ ）A. 在
上递增，在
上递减B. 在
上递增，在
上递减C. 在
上递增，在
上递减D. 在
上递增，在
上递减

下列各命题中正确的命题是（ ）①若“
都是奇数，则
是偶数”的逆否命题是“若
不是偶数，则
都不是奇数”；②命题“
”的否定是“
”；③“函数
的最小正周期为
”是“a=1”的必要不充分条件；④“平面向量
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”.A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④

存在两条直线
与双曲线
相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. （1，
） B. （1，
） C.（
，+
）D. （
，+
）

点A、B、C、D在同一个球的球面，AB=BC=
，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为（ ）A.
B.
C.
D.

设函数
，对任意
恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. （-1，1） B.
C. （-
，-1） D. （-
，-1）或（1，+
）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

曲线
在
处的切线的倾斜角是 .

设向量
满足
，且
= .

已知实数
满足
，若（-1，0）是使
取得最大值的可行解，则实数a的取值范围是 .

在
中，
则
= .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列
满足：
，且
的等差中项.（I）求数列
的通项公式；（II）设
，求数列
的前n项和
.

（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2，（1）求证：BD
AC（2）求四面体EADC的体积.

（本小题满分12分）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日



温差x/℃

10

11

13

12

8



发芽数
/颗

23

25

30

26

16





（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n，求事件“m,n均不小于25的概率.”

（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程
；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：
）（参考数据：
）

（本小题满分12分）设椭圆C：
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，O为坐标原点.（I）求椭圆C的方程；（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A、B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求出定值.

（本小题满分12分）已知函数
.（1）设
,若函数
在区间
上存在极植，求实数a的取值范围；（2）如果当
时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.（I）求证：MD=ME；（2）设圆O的半径为1，MD=
，求MA及CE的长.

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
　　（
为参数）

（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线
上任意一点为
，求
的最小值。

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数
，其中
.（I）当
时，求不等式
的解集；k#s5u（II）若
时，恒有
，求
的取值范围.

高三数学（文）模拟（一）答案

1. C ∵

∴
=
故选C

2. B ∵

∴点
在第二象限，故选B.

3. A ∵
，∴
，

∴

∴
，故选A.

4. D 抛物线焦点（2，0），则

∴
，∴
，∴双曲线方程为：
.∴渐近线方程为

6. B 按框图推演可得M的值为6，故选B。

7. A 由题知，原几何体为一四棱锥.

∴
,高=2 k#s5u

∴

9. A 易知：①不正确，排除B,C. ②正确，故选A.

10.C 依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有
，双曲线的
，∴
（
，+
）.

13.
解析：
,

∴斜率k=-1 ∴倾斜角135°. k#s5u

14.
解析：由
得
，两边平方得
，即
，∴|
|=
.





23．(Ⅰ)
；圆
5分

(Ⅱ)曲线
令

∴

∴
的最小值为
10分