太 原 五 中

2012—2013年学年度第二学期月考(4月)

高 三 数 学(文)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合
,
,则
的真子集个数为( )

A．5 B．7 C．31 D．3

2．“a = 1”是“复数
（
，i为虚数单位）是纯虚数”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．以下有关线性回归分析的说法不正确的是( )

A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心

B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使
最小的a,b的值

C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱

D．
越接近1，表明回归的效果越好

4．已知向量
、
的夹角为
，且
，
，则向量
与向量
＋2
的夹角等于（ ）

A． 150° B． 90° C． 60° D． 30°

Read a，b

If a>b Then

m
a

Else

m
b

End If

Print m



5.根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，

最后输出的m的值是（ ）

A．2 B．3 C．5 D．1

6. 数列
的首项为3，
为等差数列且

， 若
，

则
（ ）

A．0 B．3 C．8 D．11

7.函数
与.
在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　 ）

8．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（　 ）

A．右移
个单位 B．右移
个单位 C．左移
个单位 D．左移
个单位

9.长方体
的各个顶点都在表面积为
的球
的球面上，其中
，则四棱锥
的体积为（ ）

A．
B．
　C．
　　 D. 3

10.已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
或
　　D.
或7

11．偶函数
满足
，当
时,
，则关于
的方程
在
上解的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12. 已知数列
满足：
，定义使
为整数的
叫做希望数，则区间[1，2013] 内所有希望数的和M=（ ）

A．2026 B．2036 C．32046 D．2048

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是______．

14. 若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为

15. 已知函数
在区间
上是减函数，那么
的最大值为________________；

16.下列四个命题：

①直线
与圆
恒有公共点；

②
为△ABC的内角，则
最小值为
；

③已知a，b是两条异面直线，则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与a，b都垂直；

④等差数列{
}中，
则使其前n项和
成立的最大正整数为2013;

其中正确命题的序号为 。（将你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）

17.（本小题满分12分）在
ABC中，
所对边分别为
，且满足

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

18、（本小题满分12分）某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：

赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。

1、从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率；

2、电视台决定，复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关？

甲班

乙班

合计



签约歌手









末签约歌手









合计









下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：K2=
,其中

19．（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥

中
，
平面
，
，
，
．

⑴求证：

；

(2)设点
在棱
上，
，若
∥平面
，求
的值.

20．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点
，
，过
且与坐标轴不平行的直线
与椭圆交于
两点，如果
的周长等于8。

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点
的直线
与椭圆交于不同两点
，试问在
轴上是否存在定点
，使
恒为定值？若存在，求出点
的坐标及定值;若不存在，说明理由。

21.（本小题满分12分）设函数

(Ⅰ) 当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）当
时，讨论函数
的单调性.

（Ⅲ）若对任意
及任意
，恒有

成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,
内接于⊙
,
是⊙
的直径,

是过点
的直线, 且
.

(1)求证:
是⊙
的切线;

(2)如果弦
交
于点
,
,
,
, 求直径
的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程是：

（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程，直线
的普通方程；

（Ⅱ）将曲线
横坐标缩短为原来的
，再向左平移1个单位，得到曲线
，求曲线
上的点到直线
距离的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式
．

（Ⅰ）当
时，求此不等式的解集；

（Ⅱ）若此不等式的解集为
，求实数
的取值范围．

太 原 五 中

2012—2013学年度第二学期4月月考

高 三 数 学（文）

选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12





D

C

C

D

B

B

C

A

A

C

D

A





二、填空题（每小题5分，共20分）

13．　 2 ;　14．　
；

15．　
； 16．　 (1)(3)；

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 解：（I）




1分又

即




3分

又


或

由余弦定理得



6分

（II）

=
=

8分

=

10分

原式=

12分

18．（19）解：

（Ⅰ）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. …………2分

为拥有“优先挑战权”的选手编号为1，2，3，其余3人编号为A，B，C.

被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：

123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，

23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，

3AB，3AC，3BC，

ABC，……………………………………………………………4分

其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：

1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，

∴所求概率为
. …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
列联表：

甲班

乙班

合计



签约歌手

3

10

13



未签约歌手

17

10

27



合计

20

20

40



 ………………………………………9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关.

…………………………………………………12分

19．(1)证明略

（2）

20．1)

（2）
定值

21．(本小题满分12分）解：(Ⅰ)函数的定义域为
.

当
时，

2分

当
时，
当
时，

无极大值.
4分

（Ⅱ）

5分

当
，即
时，

在定义域上是减函数；

当
，即
时，令
得
或

令
得
当
，即
时，令
得
或

令
得
综上，当
时，
在
上是减函数；

当
时，
在
和
单调递减，在
上单调递增；

当
时，
在
和
单调递减，在
上单调递增；
8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在
上单减，
是最大值，
是最小值.

10分

而
经整理得
，由
得
，所以
12分

22．（1）证明：
为直径，

，

,

为直径，
为圆的切线.
…………………………………4分

（2）
,

,

连DB，由
∽

. ………………6分

连AD，由
∽

. 在
，
中，