太 原 五 中

2012—2013年学年度第二学期月考(4月)

高 三 数 学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知
为全集，
,则
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

2.设复数
（
是虚数单位），则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知
则向量
的夹角为（ ）

A.
B.
C.
D.

4．数列
的首项为3，
为等差数列且
， 若
，则
（ ）

A．0 B．3 C．8 D．11

5.如果随机变量
，且
，则
等于（ ）

A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1

6.当
时，函数
取得最小值，则函数
是（ ）

A.奇函数且图像关于点
对称 B.偶函数且图像关于点
对称

C.奇函数且图像关于直线
对称 D.偶函数且图像关于点
对称

7.设
为△
的重心，且
，则
的大小为（ ）

A． 450 B． 600 C．300 D． 150

8．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为
右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流程图输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 2 013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（ ）

（A）20种 （B）24种 （C）30种 （D）36种

11. 已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点.若
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A. (1,2] B. [2 +
) C. (1,3] D. [3，+
)

12.已知数列
满足：
，则
的值所在区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13.设
，则二项式
的展开式中的常数项等于 .

14.设实数
，
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

15.在等比数列
中，若
是互不相等的正整数，则 有等式
成立.类比上述性质，相应地，在等差数列
中,若
是互不相等的正整数，则有等式________成立.

16.已知

,用符号
表示不超过
的最大整数。函数
有且仅有3个零点，则
的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

在
ABC中，
所对边分别为
，且满足

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值.

18．（本小题满分12分）

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男



5





女

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有
的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为
，求
的分布列，数学期望以及方差．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式
其中
）

19．（本小题满分12分）

如图：四棱锥
中，
,
,
．
∥
，
．

．

（Ⅰ）证明:
平面
；

（Ⅱ）在线段
上是否存在一点
，使直线
与平面
成角正弦值等于
，若存在，指出
点位置，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的右焦点
，过原点和
轴不重合的直线与椭圆
相交于
，
两点，且
，
最小值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若圆:
的切线
与椭圆
相交于
，
两点，当
，
两点横坐标不相等时，问：
与
是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数
，
.

(1)设函数
，求函数
的单调区间；

(2)是否存在实数
，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,
内接于⊙
,
是⊙
的直径,
是过点
的直线, 且
.

(1)求证:
是⊙
的切线;

(2)如果弦
交
于点
,
,
,
, 求直径
的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程是：
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程，直线
的普通方程；

（Ⅱ）将曲线
横坐标缩短为原来的
，再向左平移1个单位，得到曲线
，求曲线
上的点到直线
距离的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式
．

（Ⅰ）当
时，求此不等式的解集；

（Ⅱ）若此不等式的解集为
，求实数
的取值范围．

一、CCBB DCBD DBCB

二、13. -160 14. 4 15. (r－s)bt＋(s－t)br＋(t－r)bs＝0

16. 3/4

17. 解：（I）




1分

又

即




3分

又


或

由余弦定理得



6分

（II）
=
=

8分

=

10分




原式=

12分

18．（Ⅰ）解：列联表补充如下　　　　　　　　　 ………2分

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男

20

5

25



女

10

15

25



合计

30

20

50



（Ⅱ）解：因为
，所以
　　　

又
．

那么，我们有
的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的． ……4分

（Ⅲ）解：　
的所有可能取值：0，1，2，3

；

；

；

； ………7分

分布列如下： ………8分

0

1

2

3















则

的数学期望及方差分别为
，
………10分

低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放．（回答基本正确就得分） …12分

19．（Ⅰ）证明：取线段
中点
，连结
．

因为
，
所以
……1分

因为
∥
，
所以
， ……2分

又因为
，所以


，而

所以
． ……4分

因为
，所以
　即

因为
，且

所以
平面
……6分

（Ⅱ）解：以
为坐标原点，以

所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系如图所示：

则
四点坐标分别为：

；
；
；
……8分

设
；平面
的法向量

．

因为点
在线段
上，所以假设
，所以

即