山东省莱芜市2013届高三第二次模拟考试

数学（理）数 学（理工农医类）

2013.04

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数
在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.在
中，“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.集合
，则下列关系正确的是

A.
=R B.
C.
D.

4.已知双曲线
的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是

A.
B.
C.
D.

5.已知
是两条不同直线，
是两个不同平面，给出四个命题：

①若
，则
；②若
；

③若
；④若
.

A.①② B.②③ C.①④ D.②④

6.设
，则二项式
展开式中的
项的系数为

A.
B.20 C.
D.160

7.已知函数
（x＞
），当
时，
取得最小值.则在直角坐标系中，函数
的大致图象为

8.有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为

A.
B.

C.
D.42

9.已知
＜
.若
＜
恒成立，则
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

10.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为

A.
B.
C.
D.

11.定义在R上的函数
的导函数为
,已知
是偶函数，
＜0.若x1＜x2,且
＞2，则
的大小关系是

A.
＜
B.

C.
＞
D.不确定

12.某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数
可表示为

A.
B.

C.
D.

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1.将第II卷答案用0.5mm的黑色签字笔在答题纸的相应位置上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.、

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.如图，在

________.

14.某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第四组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取了12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为__________.

15.在
中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
，
，则角B=__________.

16.如图，椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为
，点P为第一象限内椭圆上的一点，若
则直线PF1的斜率为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知函数

（I）求
的最小正周期和最大值；

（II）在给出的坐标系中画出函数
上的图象，并说明
的图象是由
的图象怎样变换得到的.

18.（本小题满分12分）

甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：

①连续竞猜3次，每次相互独立；

②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知
，则本次竞猜成功；

③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.

（I）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；

（II）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.

19.（本小题满分12分）

已知正三棱柱
，点D为AC的中点，点E在线段AA1上.

（I）当
时，求证
；

（II）是否存在点E，使二面角D—BE—A等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）

某工厂为扩大大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万年，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

（I）设第n年该生产线的维护费用为
，求
的表达式；

（II）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线.求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

21.（本小题满分12分）

已知定点
，B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得
，且线段BM的中点在y轴上.

（I）求动点M的轨迹C的方程；

（II）设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T（4，0）,当 P=2时，求
的最大值.

22.（本小题满分14分）

已知函数
.

（I）当
的单调区间；

（II）若不等式
有解，求实数m的取值范围；

（III）定义：对于函数
在其公共定义域内的任意实数
，称
的值为两函数在
处的差值.证明:当
时，函数
在其公共定义域内的所有差值都大于2.