四川省自贡市2013届高三第三次诊断性考试

数学试卷（文史类）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1．设
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．函数
的反函数是

A．
B．
C．
D．

3．函数
的定义域为

A．
B．
且
C．
D．
且

4．若
，
，则
的终边在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．过曲线
上一点P0处的切线平行于直线
则点P0的一个坐标是

A．(0,
2) B．(1,1) C．(1,4) D．(
1,
4)

6．设
、
分别是双曲线C：
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
（O为原点），且
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

7．过空间一定点P的直线中，与长方体
的12条棱所在直线成等角的直线共有

A．0条 B．1条 C．4条 D．无数条

8．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的
倍，得到函数
的图象，另一方面函数
的图象也可以由函数
的图象按向量
平移得到，则
可以是

A．
B．
C．
D．

9．如图1，三行三列的方阵中有9个数
，从中

任取三个数，则至少有两个位于同行或同列的概率是

A．
B．
C．
D．

10．已知有穷数列

满足
，且当

时
。若
，
，

则符合条件的数列
的个数是

A．
B．
C．
D．

11．已知椭圆C：
的右焦点为F，右准线为
，点
，线段AF交椭圆C于B，若
，则
等于

A．2 B．
C．
D．3

12．如图2，有一直角墙角，两边的长度尺足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是
、4m，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数
（单位
）的图象大致是

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．若
展开式中含有常数项，则
的最小值是 。

14．设实数
、
满足
则
的取值范围是 。

15．如图3，A、B、C是球面上三点，且AB=2cm，BC=4cm，∠ABC=60°，若球心O到截面ABC的距离为
cm，则该球的表面积为 。

16．有下列命题：①
是
的充分不必要条件；

②
；

③已知
的最大值为M，最小值是
，其值域是
；

④有3种不同型号的产品A、B、C，其数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中A型号产品有10件，则
。

其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。

三、解答题：共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17．如图4，已知△ABC中，
，∠ABC=120°，∠BAC=
，记
。

（I）求
关于
的表达式； （II）求
的值域。

18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
其中A的各位数字中，
，
出现0的概率为
，
出现1的概率为
，记
（例如：A=10001，其中
，
，
）。当启动仪器一次时， （I）求
的概率; （II）求当
为何值时，其概率最大。

19．如图5，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=BC=
AB，E是BP的中点。

（I）求证：EC//平面APD；

（II）求BP与平面ABCD所成角的正切值；

（III）求二面角P-AB-D的大小。

20．

已知等差数列
为递增数列，前
项和为
，
，且
，
与
的等比

中项为5。 （I）求数列
的通项公式； （II）数列
满足
，且
的前
项和为
，
，若对任意
都有
，求实数
的取值范围。

21．

已知圆C过定点F
，且与直线
相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线
：
相交于A、B两点。 （I）求曲线E的方程； （II）当△OAB的面积等于
时，求
的值； （III）在曲线E上是否存在与
的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M；若不存在，请说明理由。

22．已知函数
。 （I）当
时，求函数
的极值；

（II）若函数
的图象与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围。

自贡市普高2013届第三次诊断性考试数学试卷参考答案及评分意见

选择题：（每小题5分，共60分）　　BADCD CCDAA BC

填空题：（每小题4分，共16分）13、5；14、[5，20]；15、48
16、①③④。

解答题：（每小题10分，共60分）

17、解：（Ⅰ），由正弦定理有：
＝
…………(2分)

∴
,
…………(4分)

∴

　　　　

＝
＝
　

＝
　　
　　　　…………(8分)

　　 　(Ⅱ)　
=>
,

∴
∴　
　 ………（12分）

18、（文）解：（Ⅰ）由题意得：
…………(3分)

（Ⅱ）
…………(5分)

…………(7分)

…………(9分)

…………(11分)

的概率最大，最大值为
　　…………(12分)

19、解：解法一(Ⅰ) 如图，取PA的中点为F，连结EF、FD。

∵ E是BP的中点, EF∥AB 且EF＝
AB, 又 ∵DC∥AB, DC=
AB

∴　EF∥DC ，∴ 四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD.

又∵ EC
平面PAD,FD
平面PAD, ∴ EC∥平面ADE (4分)

(Ⅱ) 取AD中点H，连结PH，因为PA＝PD， 所以PH⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD于AD, ∴PH⊥面ABCD

∴HB是PB在平面ABCD内的射影，

∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角………(6分)

∵四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°∴四边形ABCD是直角梯形, ∴DC＝CB＝
AB,

设AB＝
，则BD＝
　在
ABD中，易得∠DBA＝45°, AD＝
，

　PH＝
＝
＝
　

又 ∵ BD2+AD2＝4
＝AB2,　 ∴
ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°, …(7分)

∴ HB＝
＝
＝
　

∴ 在Rt
PHB中，
………(8分)

（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于点G，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P—AB—D的平面角， ………(10分)

由AB＝2
， HA＝
，∠HAB＝45°，∴ HG＝
， ………(11分)

∴在Rt
PHG中，

∴二面角P—AB—D的大小为
……(12分)

解法二(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)设AB＝2
，同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB＝90°,

如图以D为原点，DA所在直线为
轴，DB所在直线

为
轴，过D点且垂直于

平面ABCD的直线为
轴建立空间直角坐标系， ………(5分)

则B（0，
，0），P（
，0，
），

∴
（－
，
，－
），

平面ABCD的一个法向量为
（0，0，1）， ………(6分)

所以，

………(7分)

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为
，

所以PB与平面ABCD所成角的正切值为
， 　 ………(8分)

(Ⅲ)易知A（
，0，0），则
＝（－
，
，0，）， ………(9分)

设平面PAB的一个法向量为
＝（
）则

　　由
=>
=>

令
　可得
＝(1，1，1) ……(11分)

从而

，所以二面角P—AB—D的大小为
……(12分)

20、解：(Ⅰ)由题意
可得
即

∴
或
∵
为递增的等差数列，

　　　∴
，∴
， ∴
………(6分)

(Ⅱ)

，由
≤
，
时最大，知
开口向下，

∴
＜2且 5.5≤
≤6.5 ∴
≤
≤
………(12分)

21、解：(Ⅰ)由题意，点C到定点F(－
，0)和直线
＝
的距离相等，

所以点C的轨迹方程为
………(4分)

(Ⅱ)由方程组
消去
后，

整理得
………(5分)

设A(x1，y1），B(
，
)，由韦达定理有
＝
，
－1， ………(6分)

设直线
与
轴交于点N，则N(－1，0)

∵　
＝
|ON||
|+
|ON||
|

＝
|ON|·|
|＝
·1·
＝

∵
∴
＝

，解得
………(8分)

（Ⅲ）∵A、B在抛物线
上，

所以
=
,
， ………(9分)

设点M(
)，MA⊥MB (

＝0(
(

(

………(11分)

故存在唯一的合乎题意的点M（0，0）. ………(12分)

22、解：(Ⅰ) 当
时，
+3

∴

　　　　令
，得

………(1分)

　　 当
＜－1时，
＞0，则
在
上单调递增； ………(2分)

　 当－1＜
＜3时，
＜0，则
在（－1，3）上单调递减； ……(3分)

　　　　 当
＞3时，
＞0，
在
上单调递增； ……(4分)

∴ 当
＝－1时，
取得极大值为
…(5分)

当
＝3时，
取得极小值为
…(6分)

(Ⅱ) ∵
∴

1）若
，则
，∴
在R上恒成立，∴
在R上单调递增。……(7分)

∵
＝－
＜0，
＝2
＞0

∴当
≥1时，
函数的图象与
轴有且只有一个交点。…（8分）

2）若
＜1，则
∴
有两个不相等的实数根，不妨设为
、
（
<
）

∴
+
＝2，
·
＝
，

当
变化时，

的取值情况如下表：





（
，
）









+

0

－

0

+







极大值



极小值







∵

+
＝0， ∴
＝－

………(9分)

∴
＝

＝
＝
………(10分)

同理

………(11分)

∴　
·
＝
·

＝

＝

＝
…………(12分)

令
·
＞0，解得
＞0，

而当
时，
＝－
＜0，
＝2
＞0，

故当
时，函数
的图象与
轴有且只有一个交点。 ………(13分)

综上所述，
的取值范围是
……… (14分)