蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
是虚数单位，复数
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．
-

2．若
是方程
的解，则
属于区间 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．若命题
，则命题
是命题
的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （ ）

A．33 B．42

C．52 D．63

5．若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆
短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．设函数
，则函数
是

（ ）

A．最小正周期为
的奇函数

B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数

D．最小正周期为
的偶函数

7．已知点A，B，C在圆
，满足
（其中O为坐标原点），又
，则向量
在向量
方向上的投影为 （ ）

A．1 B．-1 C．
D．

8．已知函数
则对任意
，下列不等式成立的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

9．命题“若
,则
或
”的逆否命题为________________________

10．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是

11．已知抛物线
的准线与双曲线
交于

两点，点
为抛物线的焦点，若
为正三角形，则双曲线的离心率是

12．如上图，⊙
中的弦
与直径
相交于点
，
为
延长线上一点，
为⊙
的切线，
为切点，若
,
,
，则
的长为

13．设集合
，
,满足
的正实数
的取值范围是

14．已知
中的重心为
,直线
过重心
，交线段
于
，交线段
于
其中
,且
,其中
为实数.则
的最小值为_________________.

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．某工厂生产的零件标准分成9个等级，等级系数
依次为1,2，…，9，

为合格标准，且该厂的零件都符合相应的合格标准．从该厂生产的零件中随机抽取
件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

4 6 4 4 9 6 6 7 4 5

7 4 5 8 6 4 5 9 6 4

9 4 5 4 5 5 8 6 7 8

规定零件的等级系数
的为一等品，等级系数
的为二等品，等级系数
的为三等品．

（I）试分别估计该厂生产的零件一等品频率、二等品频率和三等品频率；

（II）从样本的一等品中随机抽取2件，

(i) 列出两件产品等级系数的所有结果；

(ii) 求所抽得2件产品等级系数不同的概率．

16. 在
中，
为锐角，角
所对应的边分别为
，且
，

（I）求
的值；

（II）若
，求
的值；

（Ⅲ）求函数
的最小正周期和定义域。

17．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，

∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正切值；

（Ⅲ）已知M在线段PC上，且BM=DM=
，CM=3，求二面角
的余弦值．

18．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点
与抛物线
的焦点重合，过
的直线
与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线
与x轴垂直时，
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（II）求过点
、
(
为坐标原点)，并且与直线
（其中
为长半轴长，
为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；

（Ⅲ）求
=
时直线
的方程。

19．已知数列
的首项
，前
项和为
，且
，
，数列
满足
，
。

（Ⅰ）判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；

（II）设
，求
；

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列
，若数列
满足
（
），在每两个
与
之间都插入
（

）个2，使得数列
变成了一个新的数列
，
试问：是否存在正整数
,使得数列
的前
项的和
?如果存在，求出
的值；如果不存在，说明理由.

20．已知函数
，其中
为实数．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极大值点和极小值点；

　(Ⅱ) 若对任意
及
时，恒有
成立，求实数
的取值范围.

(Ⅲ)已知
，
，
，设函数
是否存在
，对任意给定的非零实数
存在惟一的非零实数
，使得
成立？若存在，求
的值；若不存，请说明理由．

则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：
,
,
，
，
又
，………2分

，
，

………………10分（三边正确各得1分）

所以
．

18．解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点
．……1分

设椭圆的方程：
．

解方程组
得C（-1，2），D（1，-2）．……2分

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴
，
， ∴
．

所求圆的方程为
…………………………8分

（Ⅲ） 由

①若
垂直于
轴，则
，

，

…………………………………………9分

②若
与
轴不垂直，设直线
的斜率为
，则直线
的方程为

由
得
………10分

，
方程有两个不等的实数根．

设
，
.

=

令
①

②………6分

①-②得
………7分

20．(Ⅰ)令
=0，解得
…………1分

（1）当
时，



1























因此，函数
在
处取得极小值，极小值点为
，；…………2分

函数
在
处取得极大值，极大值点为
…………3分

（2）当
时，







1



















因此，函数
在
处取得极大值，极大值点为
；…………4分

函数
在
处取得极小值，极小值点为
．…………5分

（II）由题意可知，对任意
及
时，恒有
成立等价于
…………6分