北京市顺义区2013届高三下学期第二次统练

数学（理）试题

一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
,则

A.
B.
C.
D.

2.复数

A.
B.
C.
D.

3.在极坐标系中,直线的方程为
,则点
到直线的距离为

A.
B.
C.
D.

4.执行如图所示的程序框图,输出的
值为

A.
B.

C.4 D.5

5.已知数列
中,
,等比数列
的公比
满足
,且
,则

A.
B.

C.
D.

6.设变量
满足约束条件
则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7.已知正三角形
的边长为1,点
是
边上的动点,点
是
边上的动点,且
,则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

8.设
,若直线
与
轴相交于点
,与
轴相交于点
,且坐标原点
到直线的距离为
,则
的面积
的最小值为

A.
B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)

9.
的展开式中含
的项的系数为 (用数字作答).

10.设
的内角
的对边分别为
,且
,则
,
的面积
.

11.如图,已知圆中两条弦
与
相交于点
是
延长线上一点,且
,若
与圆相切,且
,则
.

12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则
m.

13.已知双曲线
的离心率为
,顶点与椭圆
的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .

14.设定义在
上的函数
是最小正周期为
的偶函数,
是
的导函数.当
时,
;当
且
时,
.则函数
在
上的零点个数为 .

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知函数
.

(I)求
的值;

(II)求函数
的最小正周期及单调递减区间.

16.(本小题满分14分)

如图,在长方体
中,
,
为
的中点,
为
的中点.

(I)求证:
平面
;

(II)求证:
平面
;

(III)若二面角
的大小为
,求
的长.

17.(本小题满分13分)

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:
.

(I)求图中
的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;

(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

18.(本小题满分13分)

已知函数
,其中
为正实数,
.

(I)若
是
的一个极值点,求
的值;

(II)求
的单调区间.

19.(本小题满分14分)

已知椭圆
的两个焦点分别为
,且
,点
在椭圆上,且
的周长为6.

(I)求椭圆
的方程;

(II)若点
的坐标为
,不过原点
的直线与椭圆
相交于
两点,设线段
的中点为
,点
到直线的距离为
,且
三点共线.求
的最大值.

20.(本小题满分13分)

已知函数
,其中
为大于零的常数,
,函数
的图像与坐标轴交点处的切线为
,函数
的图像与直线
交点处的切线为
,且
.

(I)若在闭区间
上存在
使不等式
成立,求实数
的取值范围;

(II)对于函数
和
公共定义域内的任意实数
,我们把
的值称为两函数在
处的偏差.求证:函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

顺义区2013届高三第二次统练

数学试卷(理工类)参考答案

一、ABBA BCDC

二、9.36 10.
11.

12.4 13.
14.6

三、15.解:(I)

.……………………………………………………………4分

(II)
,得

故
的定义域为
.

因为

,

所以
的最小正周期为
.

因为函数
的单调递减区间为
,

由
,

得
,

所以
的单调递减区间为
.

……………………………………………………………13分

16.(I)证明:在长方体
中,

因为
平面
,

所以
.

因为
,

所以四边形
为正方形,

因此
,

又
,

所以
平面
.

又
,且
,

所以四边形
为平行四边形.

又
在
上,

所以
平面
.

……………………………………………………………4分

(II)取
的中点为
,连接
.

因为
为
的中点,所以
且
,

因为
为
的中点,所以
,

而
,且
,

所以
,且
,

因此四边形
为平行四边形,

所以
,而
平面
,

所以
平面
.

……………………………………………………………9分

(III)如图,以
为坐标原点,建立空间直角坐标系
,设
,

则
,

故
.

由(I)可知
平面
,

所以
是平面
的一个法向量.

设平面
的一个法向量为
,

则
,

所以

令
,则
,

所以
.

设
与
所成的角为
,则

.

因为二面角
的大小为
,

所以
,即
,

解得
,

即
的长为1.……………………………………………………………14分

17.解:(I)∵小矩形的面积等于频率,

∴除
外的频率和为0.70,

.………………………………………………………3分

500名志愿者中,年龄在
岁的人数为
(人).

(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,

则其中年龄“低于35岁”的人有12名,

“年龄不低于35岁”的人有8名.

故
的可能取值为0,1,2,3,

,

,

,

,

故
的分布列为

0

1

2

3















所以
.

……………………………………………………………13分

18.解:
.

(I)因为
是函数
的一个极值点,

所以
,

因此
,

解得
.

经检验，当
时，
是
的一个极值点，故所求
的值为
.

……………………………………………………………4分

(II)

令
得
……①

(i)当
,即
时,方程①两根为

.

此时
与
的变化情况如下表:

















0

—

0







↗

极大值

↘

极小值

↗



所以当
时,
的单调递增区间为
,
;
的单调递减区间为
.

(ii)当
时,即
时,
,

即
,此时
在
上单调递增.

所以当
时,
的单调递增区间为
.

……………………………………………………………13分

19.解:(I)由已知得
且
,

解得
,

又
,

所以椭圆
的方程为
.

……………………………………………………………3分

(II)设
.

当直线与
轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点
在
轴上,且与
点不重合,

显然
三点不共线,不符合题设条件.