乐山市高中2013届高三下学期（4月）第三次调研考试

数学（理）试卷

一、选择题：每题5分，共50分

1.复数
的虚部为（ ） A.； B.
； C.； D.
；

2. 2.如下图，几何体的主视图和左视图都正确的是（ ）

3.函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）

A.
； B.
； C.
； D.
；

4.已知等差数列
的前n项和为
，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且
（直线MP不过点O），则
等于（ ） A.10； B.15； C.20； D.40；

5.已知：命题
“
是
的充分必要条件”；命题：
“
”

则下列命题正确的是（ ）

A.命题“
”是假命题； B.命题“
”是真命题；

C.命题“
”是真命题； D.命题“
”是真命题；

6.从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为奇数”，事件B为“取到的2个数均为奇数”，则
（ ） A.
； B.
； C.
； D.
；

7. 如图，为了测量河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为
，再由点C沿北偏东
方向走10米到位置D，测得
，则塔AB的高是（ ）A.
； B.
； C.
； D.
；

8.过双曲线
的左焦点F的直线与双曲线C的右支

交于点P，与圆
恰好切于线段FP的中点M，

则直线的斜率为（ ）A.
； B.
； C.
； D.
；

9. 9.直线
与
在区间
上截曲线
所得的弦长相等且不为零，则下列结论正确的是（ ）

A.
； B.
； C.
； D.
；

10我们常用以下方法求形如
的函数的导数：先两边同取自然对数：
再两边同时求导得到：
，于是得到：

，运用此方法求得函数

的单调递增区间是（ ）

A.
； B.
； C.
； D.
；

二、填空题：每题5分，共25分。

11.若
的展开式中的第5项为常数项，则

12. 阅读下面程序框图，为使输出的数据为31，则
处应填的数字为

13.高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中

仅甲乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，

那么该生不同的报考方法有 种。

14. 设向量
，O为坐标原点，动点
满足

，则点
构成的图形的面积为

15.函数
的定义域为D，若对任意的
，当
时，都有
，则称函数
在D上为“非减函数”，设函数
在
上为非减函数，且满足以下三个条件：①
；②
；③
，则

三、解答题：共5个大题，共75分

16（本题满分12分）如图，已知点
，点B在第二象限，且OB=3，O为坐标原点，记
。（1）求
的值；（2）若AB=7，求
的面积。

17（本题满分12分）“五一”期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行活动 （1）试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；

（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中奖三次，则共获得数额为6m元的奖金。假设顾客每次抽奖中获奖的概率都是
，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

18（本题满分12分）如图，在三棱锥S—ABC中，是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，
，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点。（１）证明：ＡＣ⊥ＳＢ；

　　（２）求二面角Ｎ－ＣＭ－Ｂ的正切值。

19（本题满分12分）已知数列
的前n项和为

（1）当为何值时，数列
是等比数列；（2）在满足（1）的前提下，设
，若数列
中，有
成立，求实数
的取值范围。

20（本题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点Ｏ，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点。

（1）求椭圆的方程；（2）在线段OF上是否存在点
，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由。

21（本题满分14分）已知函数

（1）求此函数的单调区间和最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有
（
为自然对数的底数）；（3）当
时，是否存在过点（1，－１）的直线与函数
的图象相切？若存在，有多少条，若不存在，说明现由。