上海市崇明县2013届高考模拟考试试

数学试题

（考试时间120分钟，满分150分）

考生注意：

每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；

答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；

本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上）

1、计算
．

2、已知函数
的定义域为
，函数
的值域为
，则
．

3、已知正方体
的棱长是3，点
、
分别是棱
、
的中点，则异面直线

与
所成角的大小等于 ．

4、若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，

则
　 　 ．

5、已知数列
是无穷等比数列，其前n项和是
，

若
,
，则
　　 ．

6、圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为
cm，

半径为
cm，则该圆锥的体积等于
．

7、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处

应填的自然数为 ．

8、已知函数
(
为常数,
)，且
是方程
的解．当

时，函数
值域为 ．

9、若二项式
的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中
的系数为 ．（用数字作答）

10、已知
为正实数，函数
在
上的最大值为
，则
在
上的

最小值为 　 ．

11、在极坐标系中，直线
过点
且与直线
(
R)垂直，则直线
的极坐标方程为

．

12、设函数

，函数
的零点个数为 个．

13、已知
为
的外心，
,
,
为钝角，
是边
的中点，则

的值等于 ．

14、设函数
的定义域为
，若存在非零实数
使得对于任意

，有
，

且
，则称
为
上的
高调函数．如果定义域为
的函数
是奇函数，

当
时，
，且
为
上的8高调函数，那么实数
的取值范围是

　　 ．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分）

15、已知函数

，则
是 ……………………（　　）

A．最小正周期为
的偶函数 B．最小正周期为
的奇函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

16、不等式
成立的一个充分不必要条件是…………………………………………（　　）

A．
或
B．
或

C．
D．

17、学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了
个同学进行

调查，结果显示这些同学的支出都在
（单位：元），其中支

出在
（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右

图所示，则
的值为 …………………………………………（　　）

A．100 B．120

C．130 D．390

18、一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为
，得2分的概率为
，不得分的概率为

，已知他投篮一次得分的均值为2分，则
的最小值为……（　　）

A．
B．
C．
D．

三、解答题（本大题共5小题，满分74分。解答下列各题并写出必要的过程，并将解题过程清楚地写在答题纸上）

19、本题满分12分（其中第（1）小题4分，第（2）小题8分）

如图，在
中，
，
为
中点，
．

记锐角
．且满足
．

（1）求
的值；

（2）求
边上高的值．

20、本题满分14分（其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）

　　如图：已知四棱锥
，底面是边长为３的正方形
，
面
，

点
是
的中点，点
是
的中点，连接
、
、
．

（1）求证：
；

（2）若
，求二面角
的余弦值．

21、本题满分14分（其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）

　　某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，

根据经验知道，次品数
（万件）与日产量
（万件）之间满足关系：
．

已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．

（实际利润
合格产品的盈利
生产次品的亏损）

（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润
(万元) 表示为日产量
(万件) 的函数；

（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量
(万件) 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

22、本题满分16分（其中第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）

　　已知椭圆
的方程为

，其焦点在
轴上，点

为椭圆上一点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点

满足
，其中
、
是椭圆
上的点，直线
与

的斜率之积为
，求证：
为定值；

（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点
，使得
为定值？

若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

23、本题满分18分（其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

　　设数列
的各项都是正数，
为数列
的前
项和，且对任意
，都有

,
,
,
(常数
，
是以
为底数的自然对数，

)

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）用反证法证明：当
时，数列
中的任何三项都不可能成等比数列；

（3）设数列
的前
项和为
，试问：是否存在常数
，对一切
，

恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请证明你的结论．

崇明县2013年高考模拟考试试卷（理科）

试卷参考解答及评分标准

一、填空题

1、
2、（0,1） 3、
4、4 5、
6、
7、5 8、
9、9

10、
11、
12、2个 13、5 14、

二、选择题

15、B 16、D 17、A 18、C

三、解答题

19、（1）因为
，角
为锐角， 所以
……… 2分

=
=
…………………… 4分

（2）解1：过点A作BC的垂线，垂足为O。

设高AO=h，则CO=h，所以

， …………………… 3分

又
…………………… 6分

所以
，得h=4. …………………… 8分

解2：因为
，角
为锐角，所以

因此


………… 2分

又
在
中，
… 4分

…………………… 6分

所以BC边上的高

答：BC边上的高的值为4. … 8分

20、（1）解1：取AB中点T，连接MT、NT，

① …………………… 2分

② …………………… 4分

由①②得

所以
…………………… 6分

解2：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系，设

则

得
,
…………………… 4分

…………………… 6分

（2）由（1）得，则

， … 2分

解得
，即
. …………………… 3分

取平面AMB的一个法向量为
…………………… 4分

设平面AMN的法向量
，又
,

由
，取平面AMN的一个法向量
，……………… 5分

设二面角
为
，则
……………… 7分

=
……………… 8分

21、（1）当
时,合格的元件数为
（万件）, ……………… 1分

利润
（万元）；……………… 3分

当
时，合格的元件数为
（万件），… 4分

利润
（万元）， … 6分

综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为,

（2）当
时，

当x=2（万件）时，利润
的最大值20（万元）……………… 3分

当
时，
……………… 5分

因为
在
上是单调递增，所以函数T（x）在
上是减函数，当x=4时，利润