2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学文测试卷

考生须知:

1. 本卷满分150分,考试时间120分钟.

2. 答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.

3. 所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效.

4. 考试结束,只需上交答题卷.

参考公式：

如果事件
互斥,那么
.

如果事件
相互独立,那么

如果事件
在一次试验中发生的概率是
,那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率：

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
，其中
是虚数单位，则复平面上，复数
所对应的点在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．平面向量
与
的夹角为
，且

，

，则
( )

A.
B.
C.
D.

3．设
R，则“
”是“直线
与直线
平行”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．设函数
，则下列结论正确的是( )

A.
B.

C.
D.

5．设等差数列
的前
项和为
，若
，则必定有( )

A.
,且
B.
,且

C.
,且
D.
,且

6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出
的值是( )

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

7．设
是第三象限角，且
，则

( )

A.
B.

C.
D.

8．设函数
的定义域为

,值域为
,若
的最小值为
,则实数a的值为( )

A.
或
B.
或
C.
或
D.
或

9．设
分别是双曲线
的左,右焦点,以
为直径的圆与双曲

线C在第二象限的交点为
,若双曲线C的离心率为5，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

10．若函数
，则函数
的零点的个数为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分. 请将答案填在答题卷的横线上.

11．在等比数列
中，若
则
．

12．若
，则
．

13．若正数
满足
，则
的最小值为 ．

14．无穷数列
的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为
，若
，
，则
．

15．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
,则直线
被圆

所截得的弦长为 ．

16．若实数
满足不等式组
,则
的最大值为 ．

17．设Q为圆C:
上任意一点,抛物线
的准线为
.若抛物线上任意一点P到直线
的距离为
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题有5小题,共72分. 解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。

18．(本题满分14分)设
R

(Ⅰ)求
的最大值及最小正周期；

(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足
,
，求
的值.

19．(本题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量

，

，且

(Ⅰ)若
，求角A的大小；

(Ⅱ)若
，求实数
的取值范围.

20．(本题满分14分)设在等差数列
和等比数列
中，
(
N*),且
成等差数列，
成等比数列.

(Ⅰ)求数列
,
的通项公式；

(Ⅱ)设
,数列
的前
项和为
,若
恒成立，求实数
的取值范围.

21．(本题满分15分)

设函数
(其中
)

(Ⅰ)当
时,求函数
的极小值；

(Ⅱ)当
时,给出直线
和
其中
为常数，判断直线
或
中，是否存在函数
的图象的切线，若存在，求出相应的
或
的值，若不存在，说明理由．

22．(本题满分15分)

已知抛物线C：
(p > 0)和
M：
，过抛物线C上一点P(x0,y0)(y0≥0)作两条直线与
M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为
.

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)当P点坐标为(2,2)时，求直线AB的方程；

(Ⅲ)设切线PA与PB的斜率分别为
，且
，求点

P(x0,y0)的坐标.

2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学文科卷参考答案及评分标准

一．选择题：本大题共10小题， 每小题5分， 共50分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

D

A

A

B

B

C

C



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填写在答题卷的横线上．

19．（本题满分14分）

（Ⅰ）由
//
，得2sin2A―1―cosA＝0，即cosA＝
或cosA＝－1（舍去），

所以A＝
． -----------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）由正弦定理得b＋c＝
a，由
//
，得λsin2A―1―cosA＝0，

即cosA＝
或cosA＝－1（舍去），----------------------------------------------10分

又cosA＝

，

综上，λ需要满足
，得λ≥
． --------------------------14分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．由题意，

得
，解得d＝q＝3．∴
，
． 6分 （Ⅱ）
．

∴


．

∴
．∴
恒成立，即
．

故
． 14分

21．（本小题满分15分）

（Ⅰ）当
时，

当
时，
；当
时，
；当
时，
．

所以当
时，
取极小值
． ………………7分

（Ⅱ）当
时，
，
，
，

故l1中，不存函数图象的切线．

由
得
与
，

当
时，求得

当
时，求得
． 15分

22．（本小题满分15分）

(Ⅰ )由题意知：

，

所以抛物线C的方程为
． 4分

（Ⅱ）设
，因为
、
、
、
四点共圆，所以确定圆的方程为：


①

又⊙
：


②

又由①-②得直线
的方程：
． 10分

注：观察得切点（2,0）和（4，2），写出AB方程也可。

（Ⅲ）设过的直线
方程为
，由于⊙M与直线
相切，得到
，整理得到：

，即
，所以
或
，

经检验得点
坐标为
． 15分