北京市顺义区2013届高三下学期第二次统练

数学（文）试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．已知集合
，则
（ ）



A．

B．

C．

D．



2．复数
（ ）



A．

B．

C．

D．



3．从
中随机选取一个数
，从
中随机选取一个数
，则关于
的方程
有两个不相等的实根的概率是（ ）



A．

B．

C．

D．



4．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）

A．

B．



C．

D．





5.已知数列
中，
，等比数列
的公比
满足
且
，则

（ ）



A．

B．

C．

D．





6．设变量
满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）



A．

B．

C．

D．



7.已知正三角形
的边长为，点
是
边上的动点，点
是
边上的动点，且

,则
的最大值为（ ）



A．

B．

C．

D．



8.设
，若直线
与
轴相交于点
，与
轴相交于点
，且坐标原点
到

直线的距离为
，则
面积的最小值为（ ）



A．

B．

C．

D．





二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.设
的内角
的对边分别为
，且
，则
的面积
.

10.已知函数
，若
，则
的最大值为________.

11.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数，则甲组工人天每人加工零件的平均数为____________；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了
的概率为________

甲组 乙组

12.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为

，则
.

13.已知双曲线
的离心率为
，顶点与椭圆

的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____；

渐近线方程为_________.

14. 设函数
，则满足
的
的取值范围是__________.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及单调递减区间.

16.（本小题满分13分）

已知
为等差数列
的前
项和，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和公式.

17.（本小题满分14分）

如图，四棱柱
中，
是
上的点且
为
中
边上的高.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
平面
？

说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知函数
，其中
为正实数，
是
的一个极值点.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
时，求函数
在
上的最小值.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
，
，
为椭圆
的两个焦点，点
在椭圆
上，且
的周长为
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程

（Ⅱ）设直线与椭圆
相交于
、
两点，若
（
为坐标原点），求证：直线与圆
相切.

20．（本小题满分13分）

已知函数
，
，其中
为常数，
……，函数
的图象与坐标轴交点处的切线为
，函数
的图象与直线
交点处的切线为
，且
。

（Ⅰ）若对任意的
，不等式
成立，求实数
的取值范围.

（Ⅱ）对于函数
和
公共定义域内的任意实数
。我们把
的值称为两函数在
处的偏差。求证：函数
和
在其公共定义域的所有偏差都大于2.

顺义区2013届高三第二次统练

数学试卷（文史类）

ABCA BCDC

9．
10．
11．
12．
13．
14．

15．解（Ⅰ）

……………………………………………………………4分

（Ⅱ）由

故
的定义域为

因为

所以
的最小正周期为

因为函数
的单调递减区间为
，

由

得

所以
的单调递减区间为

……………………………………………………………13分

16．解（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，

因为

所以

解得

所以

……………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，令

则
，

又

所以
是以4为首项，4为公比的等比数列，

设数列
的前
项和为

则

……………………………………………………………13分

（Ⅰ）证明：
，且
平面PCD，
平面PCD，所以
平面PDC

……………………………………………………………2分

（Ⅱ）证明：因为AB
平面PAD，且PH
平面PAD ，

所以

又PH为
中AD边上的高

所以

又

所以
平面

而
平面

所以

……………………………………………………………7分

（Ⅲ）解：线段
上存在点
，使
平面

理由如下：

如图，分别取
的中点G、Ｅ

　　　　　则

　　　　　由

　　　　　所以

　　　　　所以
为平行四边形，故

　　　　　因为AB
平面PAD，所以

因此，

因为
为
的中点，且

所以

因此

又

所以
平面

……………………………………………………………14分

18．解：

（Ⅰ）因为
是函数
的一个极值点，

所以

因此，

解得

经检验，当
时，
是
的一个极值点，故所求
的值为
.

……………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

令
，得

与
的变化情况如下：















+

0

-

0

+




















所以，
的单调递增区间是

单调递减区间是

当
时，
在
上单调递减，

在
上单调递增

所以
在
上的最小值为

当
时，
在
上单调递增，

所以
在
上