辽宁省五校协作体2013届高三第二次联合模拟考试

数学学科试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.（文）已知全集
=，
或
，
，则
( )

A.
B.

C.
D.

2.函数
的图象一定过点（ ）

A. （1,1） B. （1,2） C. （2,0） D. （2,-1）

3.（文）曲线
在点
处的切线方程为
，则点
的坐标是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

A.
　B.
　　C.
　　 D.
　　

5.有下列说法：（1）“
”为真是“
”为真的充分不必要条件；（2）“
”为假是“
”为真的充分不必要条件；（3）“
”为真是“
”为假的必要不充分条件；（4）“
”为真是“
”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.在
中，
分别是三内角
的对边,设

，则
( )

A.
或
B.
C.
D. 以上都不对

7.
（ ）其中

A. sin
－cos
B. cos
－sin
C. ±（sin
－cos
） D. sin
+cos

8.设映射
是集合
到集合
的映射。若对于实数
，在中不存在对应的元素，则实数的取值范围是（ ）

A.
　 B.
　　 Ｃ.
　　 D.

9.（文）函数
在下列哪个区间上是减函数（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
的两个零点分别在区间
和区间
内，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

11.定义行列式运算：
.

若将函数
的图象向左平移
个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知
是定义在R上的偶函数，在区间
上为增函数，且
，则不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。

13.函数
的定义域为 ．

14.（文）函数
，则
的值为

15.给出下列命题：

① 存在实数，使
；

② 若、
是第一象限角，且>
，则cos

③ 函数
是偶函数；

④ A、B、C为锐角
的三个内角，则

其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）

16.（文）已知
，且
，则

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.

17.（本小题满分10分）风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记做A、B、P、Q，欲测量P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得A、B两点间的距离为
米，如图，同时也能测量出
,
,
,
，则P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离各为多少？

18.（本小题满分12分）在
中,设内角
的对边分别为
向量
,向量
,若

(1)求角的大小 ；

(2)若
,且
，求
的面积.

19. (本小题12分)鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为
层，则每平方米的平均建筑费用为
（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝
）

20（.本小题满分12分）已知函数

(1)设方程
在(0，)内有两个零点
，求
的值；

(2)若把函数
的图像向左移动
个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于轴对称，求的最小值。

21. （本小题满分12分）已知函数
是定义在上的偶函数，且当
时，
．现已画出函数
在轴左侧的图像，如图所示，并根据图像

（1）写出函数
的增区间；

（2）写出函数
的解析式；

（3）若函数
，求函数
的最小值。

22.（本小题满分12分）已知
.

(1)已知函数h(x)=g(x)+ax3的一个极值点为1，求a的取值；

（2） 求函数
在
上的最小值；

（3）对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围.

答案：

1.（文）C

2.B

3.（文）C

4.D

5. B

6.C

7. A

8.B

9.（文）A

10.A

11.C

12.C

13.

14.（文）

15. ③④

16.（文）

17.解析：（1)
中，

由正弦定理：

…………4分

(2)
中，
,

∴

…………6分

由余弦定理：

∴
.…………9分

答：P、Q两棵树之间的距离为
米，A、P两棵树之间的距离为
米。……10分

18.解析：（1）

………………3分

，
，
………………6分

由余弦定理知：

即
，解得
…………10分

……………………12分

19.解析:设楼房每平方米的平均综合费为
元，则

……3分

方法一：
, …………5分

令
得
…………7分

当
时，
；当
时，
,

因此 当
时，
取最小值…………10分

（方法二：

，……8分

当且仅当
时成立，即
时，……10分）

。

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。………………12分

20.解析：(1) 由题设
…2分

∵
，∴
，

∴
，………………………………………………………3分

由
或
，

得
或
，……………………………………………………5分

∵
，∴
，

∴
………………………………………………6分

(2) 由题意
．…………………………………………8分

∵
图象关于轴对称，则函数
为偶函数，需使

∴
，
，…………………………………………10分

∴
，
，

∵
，∴当
时，取最小值为
………………………………………12分

21.解析:（1）
在区间
，
上单调递增。…………3分

（2）设
，则

函数
是定义在上的偶函数，且当
时，

…………7分

（3）
，对称轴方程为：
，

当
时，
为最小；……8分

当
时，
为最小；……9分

当
时，
为最小……10分

综上有：
的最小值为
……12分

22.解析：

（1）
，因为1为极值点，则满足
，所以
.………………4分

（2）
，当
，
，
单调递减，

当
时，
，
单调递增. ………………6分

①
，t无解；

②
，即
时，
；

③
，即
时，
在
上单调递增，
；

所以
. ………………8分

（3）
，则
，设
，………10分

则
，

，
，
单调递减，

，
，
单调递增，所以
，

因为对一切
，
恒成立，所以
； …………12分

【压轴解剖】本题重点考查基本的数学思维和思想方法，第一问考查了导数法求解函数极值的基本方法，第二问考查单调性和分类讨论的思想，第三问考查了应用导数法考查函数的恒成立问题，其实质上是导数法求解函数最值的应用 ，要注意当已知哪个变量的范围时，我们常常转化为求解关于该变量函数的最值.