2013年河南省十所名校高三第三次联考试题

数 学（理科）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的．

1．设全集U是实数集R，集合M＝{x｜
＞2x}，N＝{x｜
≤0}，则（CUM）∩N＝

A．{x｜1＜x＜2} B．{x｜1≤x≤2}

C．{x｜1＜x＜≤2} D．{x｜1＜x＜2}

2．对任意复数z＝a＋bi（a，b ∈R），i为虚数单位，则下列结论中正确的是

A． z－＝2a B．z·＝｜z｜2 C．
＝1 D．
≥0

3．双曲线
的离心率为

A．
B．
C．
D．

4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为

A．117 B．118 C．118．5 D．119．5

5．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若
＝－2
＋λ
，则λ＝

A．1 B．2 C．3 D．4

6．公差不为0的等差数列{
}的前21项的和等于前8项的和．若
，则k＝

A．20 B．21 C．22 D．23

7．设函数f（x）＝
－lnx，则y＝f（x）

A．在区间（
，1），（1，e）内均有零点

B．在区间（
，1），（1，e）内均无零点

C．在区间（
，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点

D．在区间（
，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．
B．2
C．（2
＋1）π D．（2
＋2）π

9．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数y＝f（｜x－1｜）－1的图象可能是

10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
＝2014
，则
的值为

A．0 B．1 C．2013 D．2014

11．若
＝
＋
＋
＋…＋
（x∈R），则
＋
＋
＋…＋

A．－
B．
C．－
D．

12．四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD＝2BC＝4，且AB＋BD＝AC＋CD＝2
，则四面体ABCD的体积的最大值是

A．4 B．2
C．5 D．

第Ⅱ卷 非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题。每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题．考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．圆
－2x＋my－2＝0关于抛物线
＝4y，的准线对称，则m＝_____________

14．不等式组
对应的平面区域为D，直线y＝

k（x＋1）与区域D有公共点，则k的取值范围是______.

15．运行如下程序框图对应的程序，输出的结果是_______

16．设数列{
}是等差数列，数列{
}是等比数列，记数列

{
}，{
}的前n项和分别为
，
．若a5＝b5，a6＝b6，

且S7－S5＝4（T6－T4），则
＝____________.

三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝cos（2x－
）＋sin2x－cos2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（Ⅱ）设函数g（x）＝[f（x）]2＋f（x），求g（x）的值域．

18．（本小题满分12分）

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：

（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯

的概率的差是多少?

（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．

①求这两种金额之和不低于20元的概率；

②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是

等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方

形，且所在平面垂直于平面ABC．

（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；

（Ⅱ）求二面角D－AE－F的正切值．

20．（本小题满分12分）

已知圆C：
的半径等于椭圆E：
（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E

的右焦点F在圆C内，且到直线l：y＝x－
的距离为
－
，点M是直线l与

圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求证：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

21．（本小题满分12分）

对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有
＞
成立，则称函数
是D上

的J函数．

（Ⅰ）当函数f（x）＝m
lnx是J函数时，求m的取值范围；

（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，

①试比较g（a）与
g（1）的大小；

②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））

＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点

作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，

若四边形BCON是平行四边形；

（Ⅰ）求AM的长；

（Ⅱ）求sin∠ANC．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ－
）＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝

2
cos（θ－
）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．

（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；

（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．

2013年河南省十所名校高中毕业班阶段性测试(三)

数学(理科)·答案

（1）C （2）B （3）D （4）B （5）C （6）C

（7）D （8）B （9）B （10）C （11）D （12）A

（13）2 （14）

（15）
（16）

（17）解：（Ⅰ）

.………………………………………………………………………………（3分）

的最小正周期为，由
得

函数图象的对称轴方程为
……………………………………………（6分）

（Ⅱ）

…………………………………………………………………（8分）

当
时，
取得最小值
，

当
时，
取得最大值2，

所以
的值域为
.………………………………………………………………（12分）

（18）解：（Ⅰ）由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是:
.………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有
种,满足金额之和不低于20元的有6种,

故所求概率为
.………………………………………………………………（8分）

②根据条件,
的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为

5

10

15

20

25

30

35






















=20.……………（12分）

（19）解：（Ⅰ）取
的中点
，

的中点
，连接
.

则
，又平面
平面
，

所以
平面
，同理
平面
，

所以
又易得
，

所以四边形
为平行四边形，所以
，

又
，所以平面

平面
.

……………………………………………（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设
，则
,
,
，
，

，
.

设平面
的一个法向量是
，则

，

令
，得
.…………………………………………………………………（9分）

设平面
的一个法向量是
，则

令
，得
.

所以
，

易知二面角
为锐二面角，故其余弦值为
，

所以二面角
的正切值为
.……………………………………………（12分）

（20）解：（Ⅰ）设点
，则到直线
的距离为

，即
，………………………………………………（2分）

因为在圆
内，所以
，故
；………………………………………………（4分）

因为圆
的半径等于椭圆的短半轴长，所以
，

椭圆方程为
.……………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为圆心
到直线
的距离为
，所以直线
与圆
相切，
是切点，故

为直角三角形，所以
，

又
，可得
，………………………………………………………（7分）

，又
，可得
，………………………（9分）

所以
，同理可得
，…………………………………（11分）

所以

，即
.…………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）由
，可得
，

因为函数
是
函数，所以
，即
，

因为
，所以
，即的取值范围为
.……………………………（3分）

（Ⅱ）①构造函数
，

则
，可得
为
上的增函数，

当
时，
，即
，得
；

当
时，
，即
，得
；

当
时，
，即
，得
.…………………（6分）

②因为
，所以
，

由①可知
，

所以
，整理得
，

同理可得
，…，
.

把上面个不等式同向累加可得

.…………………………（12分）

（22）解：（Ⅰ）连接
，则
，

因为四边形
是平行四边形，所以
∥
，

因为