廊坊市大城县第一中学3月月考

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．[来源:学&科&网]

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束，将答题卷交回．

第I 卷（选择题，共 60 分）

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟。

一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、?已知正三角形AOB的顶点A,B在抛物线
上，O为坐标原点，则
（????? ）A．
?????? B．
?? C．
???? D．

2、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品

和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(　　)

A．0.95? ?????????????? ??????????????? B．0.97

C．0.92? ?????????????????????????????? D．0.08

3、设圆
的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)．

A．
???? B.

?C.
??? D.

4、如图，在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成的角为 （?? ）

A.
??????? ???????B.
???? C.
??? 　??????????? D.









?

5、已知函数
，则
的值为（?? ）

A.
???? ???????B.
? ???????????C.
???? ?????????D.

6、已知椭圆
与曲线
的离心率互为倒数，则
（?? ）

A.16???? ?????????B.
? ??????????C.
???? ????????D.

7、?设
，则
，
，
，
中最大的一个是?? （?? ）

?????? A.?????B.
??????C.??????D.

8、在
中,
，
,点在
上且满足
,则
等于(?? )

A．
??????????? B．
?????????? C．
?????????? D．
?

9、以下说法错误的是……………………………………………………………………（??? ）

A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是

B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是

C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是

D．空间两条直线所成角的取值范围是

10、已知四面体OABC中，OA、OB、OC两两相互垂直，
，
，D为四面体OABC外一点．给出下列命题：①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；③存在点D，使CD与AB垂直并相等；④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上．则其中正确命题的序号是（?? ）

A.①②??? ?????????B.②③???? ????????C.①③ ????????????D.③④

11、设点
、
、
且
满足
，则
取得最小值时，点B的个数是（?? ）

A.1个???? ???????B.2个? ?????????C.3个???? ????????D.无数个

12、若
2a＋1<
3－2a，则实数a的取值范围是(　　)．

A．(1，＋∞)? ????????????????????? B.

C．(－∞，1)? ????????????????????? D.

第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）

二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分

13、设
，当
时，
恒成立，则实数的

取值范围为???????????? 。

14、设
为双曲线
的左右焦点，点P在双曲线上，
的平分线分线段
的比为5∶1，则双曲线的离心率的取值范围是??????????? ．??

15、极坐标方程分别为
和
的两个圆的圆心距为???????? ；

16、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且

?? 总体的中位数为
. 若要使该总体的方差最小，则
的取值分别是???????????

三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚．

17．（本题满分 12 分）

已知
,
，是否存在实数
,使
同时满足下列两个条件：（1）
在
上是减函数，在
上是增函数；（2）
的最小值是，若存在，求出
，若不存在，说明理由.

18．（本题满分 12 分）

如图，
平面AEB，
，
，
，
，
,
，G是BC的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

19．（本题满分 12 分）

已知双曲线
的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，
，
，过点F的直线与双

曲线右支交于点
．

（Ⅰ）求此双曲线的方程；

（Ⅱ）求
面积的最小值．

20．（本题满分 12 分）

在锐角△
中，、
、分别为角、、
所对的边，且

（1）确定角
的大小；

（2）若
,且△
的面积为
,求
的值．

21．（本题满分 12 分）

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线
的距离等于
.

（1）求圆C的方程.

（2）若直线
与圆C相切，求
的最小值.

请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本题满分 10 分）选修 4 一 l ：几何证明选讲

设函数
，
，
，

且以
为最小正周期．

（1）求
；

（2）求
的解析式；

（3）已知
，求
的值．

23．（本题满分 10 分）如图，已知椭圆
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(
＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

24．（本题满分 10 分）设函数
.

(I)若曲线
与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,求
的值;

(II)当
时,若函数
在区间
内恰有两个零点,求的取值范围;

(III)当
时,求函数
在区间
上的最大值

廊坊市大城县第一中学2月月考数学试题

参考答案

一、选择题

1、C

2、解析：记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.

答案：C

3、D 4、?D 5、B 6、B

7、C【解析】含限定条件的不等式比较大小的问题，最有效的方法为特殊值法，取
，得最大，故选C.

8、D 9、C???? 10、D? 11、B

12、解析　函数y＝
x在R上为减函数，

∴2a＋1>3－2a，∴a>
.

答案　B

二、填空题

13、
?
时，

14、
??

15、
；??????

16、

三、解答题

17、解：设

∵
在
上是减函数，在
上是增函数

∴
在
上是减函数，在
上是增函数.

∴
??? ∴
?? 解得

经检验，
时，
满足题设的两个条件.

18、解：（Ⅰ）以
为轴建立坐标系
如图所示，

则
，
，
，
，故：

，


，

∴

（Ⅱ）设平面GED的一个法向量为
，则

，平面FED的一个法向量为

∴
，二面角
为锐角，其大小为
．?????????

19、解：（Ⅰ）由题设，
，
，设双曲线的一条渐近线方程为：
，与右准线的交点
，则
，∴
，

??? 所求双曲线的方程是

?????? （Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，
，设直线
的方程为
，

??? 由

，设
，则

，且

，

∴

，令
，∴

，而
在
上为减函数，∴当
时有最大值1，
面积的最小值为18．??

20、解：（1）由
得

sinA=2sinC sinA

=2 sinC??? C=
-? (2)由（1）知sinC=

又△
的面积为

21、解.（I）设圆C半径为，由已知得：

?∴
，或

∴圆C方程为
.????

(II)直线
，∵
????????

∴
?? ∴

左边展开，整理得，
?????? ∴

∵
，∴
，?

∴
∴
???????????????

∵
∴
，∴

选做题

22、

（2）
，?
，所以
的解析式为：

（3）由
得
，即

?????????
，???

23、【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：
，

2a＋2c＝4(
＋1)，

所以a＝2
，c＝2.

又a2＝b2＋c2，因此b＝2.

故椭圆的标准方程为
＝1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为
＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，

所以m＝2，

因此双曲线的标准方程为
＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

则k1＝
，k2＝
.

因为点P在双曲线x2－y2＝4上，

所以x－y＝4.

因此k1·k2＝
·
＝
＝1，

即k1·k2＝1.

?(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得

(2k
＋1)x2－8k
x＋8k
－8＝0，

显然2k
＋1≠0，显然Δ＞0.

由韦达定理得x1＋x2＝
，x1x2＝
.

所以|AB|＝

＝
.

同理可得|CD|＝
.

则
，

又k1·k2＝1，

所以
.

故|AB|＋|CD|＝
|AB|·|CD|.

因此存在λ＝
，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

24、解:(I)
.

因为曲线
与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,所以
,且
,

即
,且
,

解得
.

(II)记
,当
时,

,

,

令
,得
.

当变化时,
的变化情况如下表:

















0

—

0







↗

极大值

↘

极小值

↗



所以函数
的单调递增区间为
;单调递减区间为
,

①当
时,即
时,
在区间
上单调递增,所以
在区间
上的最大值为
;

②当
且
,即
时,
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,所以
在区间
上的最大值为
；

当
且
,即
时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以
在区间
上的最大值为
；