河北唐山市2013届高三第二次模拟考试

数学（文）试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮将选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，本试卷与原答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数z满足
，则复数z=

A．
B．
C．
D．

2．双曲线
的顶点和焦点到其渐近线距离的比是

A．
B．
C．
D．

3．
是两个向量，
，
，且
，则
与b的夹角为

A．
B．
C．
D．

4．在等差数列
中，
，则数列
的前9项和等于

A．3 B．9

C．6 D．12

5．执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是

A．8 B．21

C．13 D．34

6．已知
是直线，
是平面，且
，则“
”是“
”的

A．必要不充条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知x，y满足约束条件
则
的最小值是

A．－20 B．－10 C．－15 D．0

8．已知函数
的图象如右图所示，则函数
的可能图象是

9．若命题“
R，使得
”为假命题，则实数m的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
在
时有极大值，且
为奇函数，则
的一组可能值依次为

A．
B．

C．
D．

11．函数
所有零点的和等于

A．16 B．14

C．12 D．10

12．一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为

A．12 B．8

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。

13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得

分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______。

14．）设
分别是椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆

上，若△
为直角三角形，则△
的面积等于________。

15．四棱锥
的底面是边长为
的正方形，侧棱长都等于
，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为__________。

16．在数列
中，
，
等于
除以3的余数，则
的前89项的和等于________。

三、解答题：本大题共70分，其中（17）~（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积
。

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若a+b=2，且c=
，求A。

18．（本小题满分12分）

某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？

0．010

0．005

0．001





6．635

7．879

10．828



 （Ⅱ）4名成员随机分成两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理。求学生甲分到负责收集成绩组，学生乙分到负责数据处理组的概率。

附：

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
中，
，
，D是AC的中点。

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求几何体
的体积。

20．（本小题满分12分）

已知函数
，曲线
在
处的切线过点
。

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）当
时，求
的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知动圆C经过点
，且在x轴上截得弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E。

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）过点
的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为
时，求直线m的方程。

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙
的直径，D为
的中点，E为BC的中点。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
·
·
。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
（t为参数）经过椭圆
（
为参数）的左焦点F。

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求
·
的最大值和最小值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
，
R

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
恒成立，求k的取值范围。

参考答案

一、选择题

A卷：BDCCB BABAD CA

B卷：DABBC ACBDD BC

二、填空题

（13）54 （14）6 (15）100( （16）100

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）由余弦定理知c2－a2－b2＝－2abcosC，

又△ABC的面积S＝absinC＝(c2－a2－b2)，

所以absinC＝(－2abcosC)，得tanC＝－．

因为0＜C＜π，所以C＝． …6分

（Ⅱ）由正弦定理可知＝＝＝2，

所以有a＋b＝2sinA＋2sinB＝2，sinA＋sin(－A)＝1，

展开整理得，sin(＋A)＝1，且＜＋A＜，所以A＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由题意可得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



外语优秀

60

100

160



外语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为K2＝＝16.667＞10.828．

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …6分

（Ⅱ）设其他学生为丙和丁，4人分组的所有情况如下表

小组

1

2

3

4

5

6



收集成绩

甲乙

甲丙

甲丁

乙丙

乙丁

丙丁



数据处理

丙丁

乙丁

乙丙

甲丁

甲丙

甲乙



分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P＝＝． …12分

（19）解：

（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PD．

由于BB1C1C是平行四边形，所以P为为B1C的中点

因为D为AC的中点，所以直线PD∥B1A，

又PD(平面B1CD，B1A(平面BC1D，

所以AB1∥平面BC1D． …6分



（Ⅱ）直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1＝×2×2×2＝4．

三棱锥C1－BDC的体积V2与三棱锥A1－BDA的体积V3相等，

V2＝V3＝×××2×2×2＝．

所以几何体BDA1B1C1的体积V＝V1－V2－V3＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）f((x)＝－＝．

则f((2)＝，f(2)＝ln2＋．

则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线为y＝(x－2)＋ln2＋，

即y＝x＋m－1＋ln2． …3分

依题意，m－1＋ln2＝ln2，所以m＝1．

故f(x)＝lnx＋． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝lnx＋，f((x)＝．

当x∈[，1]时，f((x)≤0，f(x)单调递减，此时，f(x)∈[1，2－ln2]；

当x∈[1，5]时，f((x)≥0，f(x)单调递增，此时，f(x)∈[1，ln5＋]． …10分

因为(ln5＋)－(2－ln2)＝ln10－＞lne2－＝，

所以ln5＋＞2－ln2．

因此，f(x)的取值范围是[1，ln5＋]． …12分

（21）解：

（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(x，y)，则其半径r＝．

依题意，r2－y2＝1，即x2＋(y－1)2－y2＝1，

整理得曲线E的方程为x2＝2y． …4分

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝x，y2＝x．

设直线m方程为y＝kx＋，代入曲线E方程，得

x2－2kx－1＝0，则x1＋x2＝2k． …6分

对y＝x2求导，得y(＝x．

于是过点A的切线为y＝x1(x－x1)＋x，即y＝x1x－x． ①

由①同理得过点B的切线为y＝x2x－x． ②

设C(x0，y0)，由①、②及直线m方程得

x0＝＝k，y0＝x1x0－x＝－． …8分

M为抛物线的焦点，y＝－为抛物线的准线，由抛物线的定义，得

|AB|＝y1＋＋y2＋＝k(x1＋x2)＋2＝2(k2＋1)．

点C到直线m的距离d＝＝． …10分

所以△ABC的面积S＝|AB|·d＝(k2＋1)．

由已知(k2＋1)＝2，有且仅有k＝±1．

故直线m的方程为y＝±x＋． …12分

（22）证明：

（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD＝DC．

因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．

因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90(，

所以AB∥DE． …5分



（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，

又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．

所以＝，AD·CD＝AC·CE，2AD·CD＝AC·2CE，

因此2AD·CD＝AC·BC． …10分

（23）解：

（Ⅰ）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得＋＝1．

a＝2，b＝，c＝1，则点F坐标为(－1，0)．

l是经过点(m，0)的直线，故m＝－1． …4分

（Ⅱ）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得

(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0．

设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则

|FA|·|FB|＝|t1t2|＝＝．

当sinα＝0时，|FA|·|FB|取最大值3；

当sinα＝±1时，|FA|·|FB|取最小值． …10分

（24）解：

（Ⅰ）当a＝2时，

f(x)＝2(|x－2|－|x＋4|)＝

当x＜－4时，不等式不成立；

当－4≤x≤2时，由－4x－4＜2，得－＜x≤2；

当x＞2时，不等式必成立．

综上，不等式f(x)＜2的解集为{x|x＞－}． …6分

（Ⅱ）因为f(x)＝|ax－4|－|ax＋8|≤|(ax－4)－(ax＋8)|＝12，

当且仅当ax≤－8时取等号．

所以f(x)的最大值为12．

故k的取值范围是[12，＋∞)． …10分