河北唐山市2013届高三第二次模拟考试

数学（理）试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮将选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，本试卷与原答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数z满足
，则复数z=

A．
B．
C．
． D．

2．双曲线
的顶点和焦点到其渐近线距离的比是

A．
B．
C．
D．

3．
是两个向量，
，
，且
，则
与b的夹角为

A．
B．
C．
D．

4．在等差数列
中，
，则数列
的前9项和等于

A．9 B．6

C．3 D．12

5．执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是

A．8 B．13

C．21 D．34

6．
展开式中的常数项是

A．－20 B．18

C．20 D．0

7．已知函数
的图象如右图所示，则函数
的可能图象是

8．若命题“
R，使得
”为假命题，则实数m的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
在
时有极大值，且
为奇函数，则
的一组可能值依次为

A．
B．

C．
D．

11．函数
所有零点的和等于

A．6 B．7．5

C．9 D．12

12．一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为

A．
B．8

C．12 D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。

13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得

分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______。

14．）设
分别是椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆

上，若△
为直角三角形，则△
的面积等于________。

15．四棱锥
的底面是边长为
的正方形，侧棱长都等于
，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为__________。

16．在数列
中，
，
等于
除以3的余数，则
的前89项的和等于________。

三、解答题：本大题共70分，其中（17）~（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，
，求B。

18．（本小题满分12分）

某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？

0．010

0．005

0．001





6．635

7．879

10．828



 （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望
。

附：

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
中，
，
，Q是AC上的点，
平面
。

（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；

（Ⅱ）若
与平面
所成角的正弦值为
，

求二面角
的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知函数
R

（Ⅰ）若
在
单调递减，求a的最小值；

（Ⅱ）若
有两个极值点，求a的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知动圆C经过点
，且与直线
相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1。记该圆圆心的轨迹为E。

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由。

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙
的直径，D为
的中点，E为BC的中点。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
·
·
。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
（t为参数）经过椭圆
（
为参数）的左焦点F。

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求
·
的最大值和最小值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
，
R

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
恒成立，求k的取值范围。

参考答案

一、选择题

A卷：BDCAB CBABD CA

B卷：DABCC ABDAD BD

二、填空题

（13）54 （14）6 （15）100( （16）100

三、解答题

（17）解：

由余弦定理得，a2－b2＝c2－2bccosA，

将已知条件代入上式，得ac＝bc－c2，则b－c＝a，

再由正弦定理，sinB－sinC＝sin． …4分

又sinC＝sin（－B）＝cosB＋sinB，

所以sinB－cosB＝，即sin（B－）＝． …10分

因为－＜B－＜，所以B－＝，即B＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



外语优秀

60

100

160



外语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为K2＝≈16．667＞10．828，

所以能在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分

（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是．

则X～B（3，），P（X＝k）＝C（）k（）8－k，k＝0，1，2，3．

X的分布列为

X

0

1

2

3





p









…10分



E（X）＝3×＝． …12分

（19）解：

（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．

因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1(平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C＝PQ，

所以AB1∥PQ．

因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，

所以，Q为AC的中点． …4分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝a，BB1＝b，则

面BC1C的法向量为m＝（1，0，0）．

B（0，0，0），C1（0，a，b），Q（a，a，0），

＝（0，a，b），＝（－a，a，b）．

因QC1与面BC1C所成角的正弦值为，

故＝＝，解得b＝a． …8分

设平面C1BQ的法向量n＝（x，y，z），则

即取n＝（1，－，2）． …10分

所以有cos(m，n(＝＝．

故二面角Q-BC1-C的余弦值为． …12分

（20）解：

（Ⅰ）f(（x）＝lnx＋1－ax．

f（x）单调递减当且仅当f(（x）≤0，即(x∈（0，＋∞），

a≥． ①

设g（x）＝，则g(（x）＝－．

当x∈（0，1）时，g(（x）＞0，g（x）单调递增；

当x∈（1，＋∞）时，g(（x）＜0，g（x）单调递减．

所以g（x）≤g（1）＝1，故a的最小值为1． …5分

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f（x）没有极值点．

（2）当a≤0时，f(（x）单调递增，f(（x）至多有一个零点，f（x）不可能有两个极值点．

…7分

（3）当0＜a＜1时，设h（x）＝lnx＋1－ax，则h(（x）＝－a．

当x∈（0，）时，h(（x）＞0，h（x）单调递增；

当x∈（，＋∞）时，h(（x）＜0，h（x）单调递减． …9分

因为f(（）＝h（）＝ln＞0，f(（）＝h（）＝－＜0，

所以f（x）在区间（，）有一极小值点x1． …10分

由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x－1，则ln≤－1，

故f(（）＝h（）＝ln2＋2ln＋1－≤ln2＋2（－1）＋1－＝ln2－1＜0．

所以f（x）在区间（，）有一极大值点x2．

综上所述，a的取值范围是（0，1）． …12分

（21）解：

（Ⅰ）依题意，曲线E是以（0，m）为焦点，以y＝－m为准线的抛物线．

曲线E的方程为x2＝4my． …2分

设动圆圆心为A（a，），则圆C方程为（x－a）2＋（y－）2＝（＋m）2，

令y＝0，得（x－a）2＝＋m2．

当a＝0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m＝，

故曲线E的方程为x2＝2y． …5分

（Ⅱ）假设存在题设的公共点B（b，b2）．

圆C方程为（x－a）2＋（y－a2）2＝（a2＋）2，

将点B坐标代入上式，并整理，得（b－a）2[1＋（a＋b）2]＝（a2＋1）2．① …7分

对y＝x2求导，得y(＝x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．

又直线AB的斜率k＝＝（a＋b）．

由圆切线的性质，有（a＋b）b＝－1． ② …8分

由①和②得b2（b2－8）＝0．

显然b≠0，则b＝±2． …9分

所以存在题设的公共点B，其坐标为（±2，4），公切线方程为

y＝2（x－2）＋4或y＝－2（x＋2）＋4，即y＝±2x－4． …12分

（22）证明：

（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD＝D C．

因为E为BC的中点，所以DE⊥B C．

因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90(，

所以AB∥DE． …5分

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，

又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DC B．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△EC D．

所以＝，AD·CD＝AC·CE，2AD·CD＝AC·2CE，

因此2AD·CD＝AC·B C． …10分

（23）解：

（Ⅰ）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得＋＝1．

a＝2，b＝，c＝1，则点F坐标为（－1，0）．

l是经过点（m，0）的直线，故m＝－1． …4分

（Ⅱ）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得

（3cos2α＋4sin2α）t2－6tcosα－9＝0．

设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则

|FA|·|FB|＝|t1t2|＝＝．

当sinα＝0时，|FA|·|FB|取最大值3；

当sinα＝±1时，|FA|·|FB|取最小值． …10分

（24）解：

（Ⅰ）当a＝2时，

f（x）＝2（|x－2|－|x＋4|）＝

当x＜－4时，不等式不成立；

当－4≤x≤2时，由－4x－4＜2，得－＜x≤2；

当x＞2时，不等式必成立．

综上，不等式f（x）＜2的解集为{x|x＞－}． …6分

（Ⅱ）因为f（x）＝|ax－4|－|ax＋8|≤|（ax－4）－（ax＋8）|＝12，

当且仅当ax≤－8时取等号．

所以f（x）的最大值为12．

故k的取值范围是[12，＋∞）． …10分