河北武邑中学2012—2013学年高三第一次模拟考试

数学试题（理科） 命题人 魏华军 审核人 赵海通

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分
分，考试时间
分钟。

2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1.如图所示的韦恩图中，
、
是非空集合，定义
*
表示阴影部分集合．若
，
，
，则
*B=

A．
B．
C．
D．

2.设等差数列
的公差
≠0，
．若
是
与
的等比中项，则

A. 3或 -1 　 B. 3 　　　 C. 3或1 　　 D. 1

3．已知函数f（x）=e
，若
，则
的值为

A．
B．
C．
D．
（其中k∈Z）

4．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为

A．2 B．2 C．4 D．2

5. 设
是三角形的一个内角，且
，则方程

所表示的曲线为

A．焦点在
轴上的双曲线 B．焦点在
轴上的的双曲线

C．焦点在
轴上的椭圆 D．焦点在
轴上的椭圆

6.执行如图所示的程序框图，则输出的复数
是

A．
B．
C．1 D．

7. 若
则“
”是“
”

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分与不必要条件

8. 2012年10月18日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。本次大会的主题是“绿色、低碳、环保”为大力宣传这一主题，主办方将这6个字做成灯笼悬挂在主会场（如图所示），大会结束后，要将这6个灯笼撤下来，每次撤其中一列最下面的一个，则不同的撤法种数为

A．36 B．54 C．72 D．90

9.等比数列
中
，公比
，记

（即
表示数列
的前
项之积），
取最大值时n的值为

A． 8 B． 9 C．9或10 D． 11

10.定义域为R的函数
满足
，当
[0，2)时，
若
时，
有解，则实数t的取值范围是

A.[-2，0)
(0，l) B.[-2，0)
[l，+∞)

C.[-2，l] D.(
，-2]
(0，l]

11.如图，在三棱锥
中，
⊥底面
，∠
=
，

⊥
于
，
⊥
于
,若
，∠
=
，

则当
的面积最大时，
的值为

A．2 B．
C．
D．

12.抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在准线
上的射影为
的最大值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设函数
，其中
，则
展开式中
的系数为 。

14.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.

若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

其中
， 则
的最大值为 .

15.若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则

线段MN长度的最小值是 ．

16.对于函数
，设
,若存在
、
，使得

，则称
互为“零点关联函数”。若函数
与
互为“零点关联函数”，则实数
的取值范围为 。

三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，点
是
的中点，
的三边长是连续的三个正整

数，且
.

（1）判断
的形状；

（2）求
的余弦值.

18．（本小题满分12分）

某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为
，求
的分布列和数学期望；

（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱
中，
，

侧面
与底面ABC所成的二面角为
，E、F分别是棱

的中点。

（1）求
与底面ABC所成的角；

（2）证明
∥平面
；

（3）求经过
四点的球的体积.

20．（本小题满分12分）已知抛物线
的焦点为F，过点
的直线
与
相交于
、
两点，点A关于
轴的对称点为D .

（1）判断点F是否在直线BD上；

（2）设
，求
的内切圆M的方程.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax＋x lnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）求实数a的值；

（2）若k∈Z，k＜
对任意x＞1恒成立，求k的最大值；

（3）当n＞m
4时，证明
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑

22．（本小题满分10分）《选修4－1：几何证明选讲》

如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交

⊙O2于点C，过点B和两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，

DE与AC相交于点P。

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。

23.（本小题满分10分）《选修4－4：坐标系与参数方程》

在极坐标系中，极点为
，曲线
：
与曲线
：
交于不同的两点
．

（1）求
的值；

（2）求过点
且与直线
平行的直线
的极坐标方程．

24.（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

设不等式
的解集为
, 且
.

(Ⅰ) 试比较
与
的大小;

(Ⅱ) 设
表示数集
中的最大数, 且
, 求
的范围.

河北武邑中学2012—2013学年高三第一次模拟考试

数学试题（理科）答案

一．选择题CBACA,AADBB,DB

二．填空题：13．60； 14．3； 15．
； 16．
。

三．解答题

17．解： （I）设
则由

…………1分

中，由正弦定理得

同理得
…3分

…………5分

即

当
时，
与
的三边长是连续三个正整数矛盾，

，
是等腰三角形。 …………7分

（II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为

由
得n=4， …………9分

由余弦定理或二倍角公式得
或
…12分

18．解：（1）
的所有可能取值为0，1，2． ……………………1分

设“第一次训练时取到
个新球（即
）”为事件
（
0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以

，
．

所以
的分布列为

0

1

2














的数学期望为
． ……………………6分

（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件
．

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件
．

而事件
、
、
互斥，所以，
．

由条件概率公式，得

，
，

． 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
． …………12分[

19．解：（Ⅰ）过
作
平面
，垂足为
．连结
，并延长交
于
，

于是
为
与底面
所成的角． ∵
，∴
为
的平分线．

又∵
，∴
，且
为
的中点．

因此，由三垂线定理
．∵
，且
，∴
．

于是
为二面角
的平面角，---------------2分

即
．　由于四边形
为平行四边形，得
．---4分

（Ⅱ）证明：设
与
的交点为
，则点
为
的中点．连结
．

在平行四边形
中，因
为
的中点，故
．

而
平面
，
平面
，所以
平面
．--------------8分

（Ⅲ）连结
．在
和
中，由于
，
，
，则

≌
，故
．由已知得
．

又∵
平面
，∴
为
的外心．

设所求球的球心为
，则
，且球心
与
中点的连线
．

在
中，
．故所求球的半径
，球的体积
．--------------------12分

20.解：设
，
，
，
的方程为
.

（Ⅰ）将
代人
并整理得
，从而

直线
的方程为
，即

令
所以点
在直线
上。………4分

（Ⅱ）由①知
,

因为

，

故
， 解得
………6分

所以
的方程为

又由①知
故直线BD的斜率
，

因而直线BD的方程为

因为KF为
的平分线，故可设圆心
，
到
及BD的距离分为
. 由
得
，或
（舍去），

故圆M的半径
. 所以圆M的方程为
. ……………12分

21．解：（1）解：因为
，所以
．…………………1分

因为函数
的图像在点
处的切线斜率为3，

所以
，即
．所以
．……………………………2分

（2）解：由（1）知，
，

所以
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立．…………………3分

令
，则
，…………………………………4分

令

，则
，

所以函数
在
上单调递增．…………………………… 5分

因为
，

所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
．

当
，即
，当
，即
，…………6分

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．

所以[
．…………7分所以
．故整数
的最大值是3．………………8分

（3）证明1：由（2）知，
是
上的增函数，……………9分

所以当
时，
．…………………10分

即
．整理，得

．

因为
，所以
．

即
．即
．

所以
．………………12分

证明2：构造函数
，………………9分

则
．……………10分

因为
，所以
．

所以函数
在
上单调递增． 因为
， 所以
．

所以

．

即
．即
．

即
．所以
．……………12分

证明3：要证

构造函数

则
在
上恒成立

在
上递增，所以
时
即

22．证明：解：（I）∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，

又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.

（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，

∴xy＝12 ①

∵AD∥EC，∴＝，∴＝ ②

由①、②解得　(∵x>0，y>0)

∴DE＝9＋x＋y＝16，

∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.

23.解：（1）曲线
的普通方程为
，曲线
的普通方程为：x-y=2.

圆心到直线的距离为
，

（2）由（1）知
，过（1,0），所以直线
的普通方程为：x-y=1

所以极坐标方程为：

另解：（