天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）

数 学（理工类）

本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，

祝各位考生考试顺利l

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)
是虚数单位，复数
等于

(A)
(B)

(C)
(D)

(2)设x∈R，则“x>0"是“
"的

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，

当输入的值为10时，输出S的值为

(A) 45 (B) 49

(C) 52 (D) 54

(4)在
的二项展开式中，
的系数为

(A) 40 (B) -40

(C) 80 (D) -80

(5)在等比数列
中，
，则

(A)±9 (B)9

(C)±3 (D)3

(6)设△ABC的内角
的对边分别为a，b,c，且
,则sinA=

(A)
(B)

( C)
(D)

(7)直角三角形ABC中，
，点D在斜边AB上，且
,
,若
，则

(A)
(B)

(C)
(D）

(8)定义在R上奇函数，
对任意
都有
，若
，则

(A) -4026 (B) 4026

(C) -4024 (D) 4024

天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共12小题，共110分，

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

(9)某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取_______人．

(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______．

(11)已知集合
，集合

,若

则实数a=______.

(12)若直线x - y+t=0被曲线
（
为参数）截得的

弦长为
，则实数t的值为______。

(13)如图，在
中，CD垂直于直径AB，垂足为D，

DE
BC，垂足为E，若AB =8，
，

则AD=____．

(14)设函数
若
，则关于x的方程
的解的个数为_______个，

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

(15)（本小题满分13分）

已知函数
，
为常数，
，且
．

(I)求函数
的最小正周期。

(Ⅱ)当
时，求函数
的最大值和最小值，

(16)（本小题满分13分）

一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．

(I)求两球颜色不同且标号之和为3的概率；

(Ⅱ)记所摸出的两球标号之积为
，求
的分布列与数学期望．

(17)（本小题满分13分）

在三棱锥S -ABC中，
是边长为2的正三角形，平面SAC
平面ABC，
，E，F分别为AB、SB的中点．

(I)证明：AC
SB；

(Ⅱ)求锐二面角F -CE –B的余弦值；

(Ⅲ)求B点到平面CEF的距离．

18．（本小题满分13分）

已知数列
中
，数列
中
。其中
．

(I)求证：数列
是等差数列：

(Ⅱ)设
最是数列
的前n项和，求
；

(Ⅲ)设
是数列
的前n 项和，求证：
．

(19)（本小题满分14分）

设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为
，右焦点F到点
的距离为2.

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设经过点（0，-3）的直线Z与椭圆相交于不同两点M，N满足
，试

求直线
的方程．

(20)（本小题满分14分）

已知函数
在点
处的切线方程为6x+3y -10=0，且对任意

的

恒成立．

(I)求a,b的值；

(Ⅱ)求实数k的最小值；

(Ⅲ)证明：
．

天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案

数 学（理工类）

一、选择题：每小题5分，满分40分.

（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）A

二、填空题：每小题5分，共30分.

（9）12 （10）
（11）5 （12）
或6 （13）1 （14）3

三、解答题

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知得

即
，………………………………………………………………2分

所以
………………………………………………3分

所以
……………………4分

…………………………………5分

所以函数
的最小正周期为
…………………………………6分

（Ⅱ）由
，得
…………………………………7分

则
……………………………………………………9分

所以
…………………………………11分

所以函数
的最大值为
；最小值为
…………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有
种 ………… 2分

颜色不同且标号之和为3的情况有6种 ………………………………… 4分

∴
…………………………………………… 5分

(Ⅱ) 依题意
的可取值为0,1,2,3,4,6

………………………………………………6分

………………………………………………7分

………………………………………………8分

………………………………………………9分

………………………………………………10分

………………………………………………11分

0

1

2

3

4

6



















（不列表不扣分）

…………………13分

（17）（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）法一：取
中点
，连结
，
．

∵
∴
且

∴
平面
，又
平面
，∴
…………………………3分

法二：取
中点
，以
为原点，

分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴，

建立空间直角坐标系，则
,

，
,
,

，

． ……………………………………………………………………3分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得

设
为平面
的一个法向量，则
　

取
,
．

∴
． …………………………………………………………6分

又
为平面
的一个法向量，

∴二面角
的余弦值为
． ………………………………………9分

(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得
，
为平面
的一个法向量

∴点
到平面
的距离
……………………………13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，　 ………………………………1分

　而　
，

　　∴　
．
…………………………3分

　　∴　{
}是首项为
，公差为1的等差数列． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
， ………………………………………………………5分

, …………………………………6分

于是
=
　　 …………………………………………7分

故有

=6
…………………………………9分

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　

, ……………………………10分

则

． …………11分

则
+…+

，

∴

． ………………………13分

（19）（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为
,

则其右焦点坐标为
, ………………………………1分

由

,得
,

即
,故
. …………………………………………2分

又∵
, ∴
, ……………………………………………………3分

∴所求椭圆方程为
. ……………………4分

(Ⅱ)由题意可设直线
的方程为

, ……………………5分

由
，知点
在线段
的垂直平分线上,

由
得

即
……（*） ………………………………………6分

即
时方程（*）有两个不相等的实数根 …………………………7分

设
，
，线段
的中点

则
，
是方程（*）的两个不等的实根，故有
…………8分

从而有
，

于是，可得线段
的中点
的坐标为
………………9分

又由于
，因此直线
的斜率为
………10分

由
，得
…………………………11分

即