2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

C

A

B

C

B

D





二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．

9．54 10．
11．
12．
13．
；
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）

解：（1）在△
中，因为

，

，

，

由余弦定理得
………………………………………………………2分

． ……………………………………………………3分

因为
为△
的内角，所以
．……………………………………………………4分

（2）方法1：因为发射点
到
、
、
三个工作点的距离相等，

所以点
为△
外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分

设外接圆的半径为
，

在△
中，由正弦定理得
， ……………………………………………………………7分

因为
，由（1）知
，所以
．

所以
，即
．…………………8分

过点
作边
的垂线，垂足为
，…………………………9分

在△
中，
，
，

所以
………………………………………………………11分

．

所以点
到直线
的距离为

．……………………………………………………………12分

方法2：因为发射点
到
、
、
三个工作点的距离相等，

所以点
为△
外接圆的圆心．……………………5分

连结
，
，

过点
作边
的垂线，垂足为
， …………………6分

由（1）知
，

所以
．

所以
．………………………………………9分

在
△
中，
，

所以
．…………………………………………………………11分

所以点
到直线
的距离为

．……………………………………………………………12分

17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）

解：（1）这是一个几何概型．所有点
构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
．

………………………………………………1分

满足
的点
构成的平面区域是以
为圆心，
为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以
为圆心、
为半径、

圆心角为
的扇形
的内部（即四分之一个圆）与两个

直角边为1的等腰直角三角形（△
和△
）内部

构成． ……………………………………………………………2分

其面积是
．………………3分

所以满足
的概率为
．………………………………………………………4分

（2）从
这八个点中，任意选取两个点，共可构成
条不同的线段．

………………………………………………………5分

其中长度为1的线段有8条，长度为
的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为
的线段有8条，长度为
的线段有2条．

所以
所有可能的取值为
．……………………………………………………7分

且
，
，
，

，
． ………………………………………9分

所以随机变量
的分布列为：



























随机变量
的数学期望为

．…………………………12分

18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）

证明：（1）因为等边△
的边长为3，且

，

所以
，
．

在△
中，
，

由余弦定理得
．

因为
，

所以
．

折叠后有
．……………………………………………………………………………………2分

因为二面角
是直二面角，所以平面

平面
． …………………………3分

又平面

平面

，
平面
，
，

所以
平面
． ………………………………………………………………………………4分

（2）解法1：假设在线段
上存在点
，使直线
与平面
所成的角为
．

如图，作
于点
，连结
、
．………………5分

由（1）有
平面
，而
平面
，

所以

．…………………………………………………6分

又
，

所以
平面
．…………………………………………………………………………………7分

所以
是直线
与平面
所成的角． ……………………………………………………8分

设

，则
，
．…………………………………………………9分

在
△
中，
，所以
．………………………………………………10分

在
△
中，
，
．………………………………………………………11分

由
，

得
．…………………………………………………………………………12分

解得
，满足
，符合题意．……………………………………………………………13分

所以在线段
上存在点
，使直线
与平面
所成的角为
，此时
．………14分

解法2：由（1）的证明，可知
，
平面
．

以
为坐标原点，以射线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴的正半轴，建立空间直角坐标系
如图． …………………………………………………………5分

设

，

则
，
，
． ……………………6分

所以
，
，
．…………7分

所以
．……………………………………………………………………………8分

因为
平面
，

所以平面
的一个法向量为
．……………………………………………………9分

因为直线
与平面
所成的角为
，

所以
………………………………………………………………………………10分

，……………………………………………………………11分

解得
． ……………………………………………………………………………………………12分

即
，满足
，符合题意． ……………………………………………………13分

所以在线段
上存在点
，使直线
与平面
所成的角为
，此时
．………14分

19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）

解：要使函数
在
上与
轴有两个不同的交点，

必须
……………………………………………………………………………………………2分

即
………………………………………………………………………………4分

解得
．

所以当
时，函数
在
上与
轴有两个不同的交点．…5分

下面求
在
上有最小值时
的取值范围：

方法1：因为
…………………………………………………………6分

①当
时，
在
和
上单调递减，
在
上无最小值；……………7分

②当
时，

在
上有最小值
；………………………8分

③当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

在
上有最小值
．…………………………………………………………9分

所以当
时，函数