北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（文史类） 2013.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）为虚数单位，复数
的虚部是

A．
B．
C．
D .

（2）若集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

（3）已知向量
，
.若
，则实数的

值为

A．
B．
C．
D．

（4）已知命题：
，
；命题：
，
.

则下列判断正确的是

A．
是假命题 B．是假命题 C．
是真命题 D．
是真命题

（5）若直线
与圆
有两个不同的公共点，则实数的取值范围是

A．
B．

C．
D .

（6）“
”是“关于
的不等式组
表示的平面区域为三角形”的

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.

B.

C.

D. 8

（8）已知函数
.若
，使
，则称
为函数
的一个“生成点”.函数
的“生成点”共有

A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）以双曲线
的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .

（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .

（11） 在等比数列
中，
，则
，若
为等差数列，且
，则数列
的前5项和等于 .

（12）在
中，,
,分别为角, ,
所对的边，且满足
，则
，

若
，则
.

（13） 函数
是定义在上的偶函数，且满足
.当
时，
.若在区间
上方程
恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .

（14）在平面直角坐标系
中，点是半圆
（≤≤）上的一个动点，点
在线段
的延长线上．当
时，则点
的纵坐标的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

已知函数
（
）的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值及函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）当
时，求函数
的取值范围.

（16） （本小题满分13分）

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量指数

0-50

51-100

101-150

151-200

201-300

300以上



空气质量等级

1级优

2级良

3级轻度污染

4级中度污染

5级重度污染

6级严重污染





由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用

茎叶图表示如下：

（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；

（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．

(注：
，其中
为数据
的平均数.)

（17） （本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，平面
平面
，且
，
．四边形
满足
，
，
．为侧棱
的中点，为侧棱
上的任意一点.

（Ⅰ）若为
的中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）是否存在点，使得直线
与平面
垂直？若存在，

写出证明过程并求出线段
的长；若不存在，请说明理由．

（18） （本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线的斜率为，求的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

（19） （本小题满分14分）

已知椭圆
过点
,离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为
（
）的直线
与椭圆
相交于
两点，直线
，
分别交直线
于
，
两点,线段
的中点为.记直线
的斜率为
，求证:
为定值.

（20）（本小题满分13分）

由
按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为
，设
，其中
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求
的最大值.

(注：对任意
，
都成立.)

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数学学科测试答案（文史类） 2013.4

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

C

B

D

D

A

D

B



二、填空题：

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案





；


；







（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
……………………………………………1分

. ……………………………………………………4分

因为
最小正周期为，所以
.………………………………………………5分

于是
.

由
，
，得
.

所以
的单调递增区间为[
]，
.……………………………8分

（Ⅱ）因为
，所以
， …………………………………10分

则
. …………………………………………………12分

所以
在
上的取值范围是[
]. ………………………………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分

（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为
，

则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为
．………………6分,

（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有
个结果，分别记为：

（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）

（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），

（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），

（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），

（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.

则空气质量等级相同的为：

（29，41），（29，43），

（53，55），（53，58），（53，78）,

（57，55），（57，58），（57，78），

（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.

则
.

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为
．

…………………………………………………………………13分

（17）（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）因为
分别为侧棱
的中点，

所以
．

因为
，所以
．

而
平面
，
平面
，

所以
平面
． ……………………………………………………4分

（Ⅱ）因为平面
平面
，

平面
平面
，且
，
平面
.

所以
平面
，又
平面
，所以
．

又因为
，
，所以
平面
，

而
平面
，

所以平面
平面
．……………………………………………………8分

（Ⅲ）存在点，使得直线
与平面
垂直.

在棱
上显然存在点,使得
.

由已知，
，
，
，
．

由平面几何知识可得
．

由（Ⅱ）知，
平面
，所以
，

因为
，所以
平面
．

而
平面
，所以
．

又因为
,所以
平面
.

在
中，
，

可求得，
．

可见直线
与平面
能够垂直，此时线段
的长为
．……………14分

（18）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由
可知，函数定义域为
，

且
.由题意，
，

解得
.……………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）

.

令
，得
，
.

（1）当
时，
，令
，得
;令
，得
.

则函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.

（2）当
，即
时，令
，得
或
.

则函数
的单调递增区间为
，
.

令
，得
.

则函数
的单调递减区间为
.

（3）当
，即
时，
恒成立，则函数
的单调递增区间为
.

（4）当
，即
时，令
，得
或
，

则函数
的单调递增区间为
，
.

令
，得
.

则函数
的单调递减区间为
. ……………………………………13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）依题得
解得
，
.

所以椭圆
的方程为
. …………………………………………………4分

（Ⅱ）根据已知可设直线
的方程为
.

由
得
.

设
,则
.

直线
，
的方程分别为：
，

令
，

则
,所以
.

所以

. ……………………………………………………14分

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
.………3分

（Ⅱ）证明：由
及其推广可得，

=
. ……………………………7分

（Ⅲ）
的倍与
倍共
个数如下：

其中最大数之和与最小数之和的差为
，所以
，

对于
，
，

所以
的最大值为
. ……………………………………………………13分

注：使得
取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.