北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（理工类）

2013.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）为虚数单位，复数
的虚部是

A．
B．
C．
D .

（2）已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

（3）已知向量
，
.若
，则实数的值为

A．
B．
C．
D．

（4）在极坐标系中，直线
与曲线
相交于
两点,
为极点，则
的

大小为

A．
B．
C．
D．

（5）在下列命题中，

①“
”是“
”的充要条件；

②
的展开式中的常数项为；

③设随机变量
～
,若

，则
．

其中所有正确命题的序号是

A．② B．③

C．②③ D．①③

（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三

视图如图所示，则这个几何体的体积为

A. B.
C.
D. 8

（7）抛物线
（＞
）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为

A.
B. 1 C.
D. 2

（8）已知函数
.若
，使
成立，则称
为函数
的一个“生成点”.函数
的“生成点”共有

A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）在等比数列
中，
，则
，
为等差数列，且
，则

数列
的前5项和等于 .

（10）在
中，，
，分别为角， ，C所对的边.已知角为锐角，且
,

则
.

（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .

（12）如图，圆
是
的外接圆，过点C作圆
的切

线交
的延长线于点.若
，

，则线段
的长是 ；圆
的

半径是 .

（13）函数
是定义在上的偶函数，且满足

.当
时，
.若在区间
上方程
恰有

四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .

（14）在平面直角坐标系
中，已知点是半圆
（≤≤）上的一个动点，点
在线段
的延长线上．当
时，则点
的纵坐标的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

已知函数
（
）的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值及函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）当
时，求函数
的取值范围.

（16）（本小题满分13分）

盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字
．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．

（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；

（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；

（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为
，试求随机变量
的分布列与数学期望
．

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，平面
平面
，且
，
．四边形
满足
，
，
．点
分别为侧棱
上的点，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
时，求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在实数
，使得平面
平面
？若存在，

试求出
的值；若不存在，请说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在
上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

（19）（本小题满分14分）

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆
过点
,离心率为
，点为其右顶点.过点
作直线
与椭圆
相交于
两点，直线
，
与直线
分别交于点
，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围.

（20）（本小题满分13分）

设
是数
的任意一个全排列，定义
，其中
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）求
的最大值；

（Ⅲ）求使
达到最大值的所有排列的个数.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（理工类）

2013.4

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

D

A

C

C

D

A

B



二、填空题：

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案

，





1,







（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

. …………………………………………4分

因为
最小正周期为，所以
. ………………………………6分

所以
.

由
，
，得
.

所以函数
的单调递增区间为[
]，
. ………………8分

（Ⅱ）因为
，所以
， …………………………………10分

所以
. ………………………………………12分

所以函数
在
上的取值范围是[
]. ……………………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则

．

答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
．…………………………3分

（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．

由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
．

所以
．

答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
．……………7分

（Ⅲ）由题意可知，
的可能取值为
，所以随机变量
的可能取值为
．

；
；

；
；

；
．

所以随机变量
的分布列为































所以
．……………………13分

（17）（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）由已知，
，

所以
．

因为
，所以
．

而
平面
，
平面
，

所以
平面
． ……………………………………………………4分

（Ⅱ）因为平面
平面
，

平面
平面
，且
，

所以
平面
.

所以
，
．

又因为
，

所以
两两垂直． ……………………………………………………5分

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为
，
，

所以

．

当
时，为
中点，

所以
,

所以
．

设异面直线
与
所成的角为
，

所以
，

所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．…………………………………9分

（Ⅲ）设
，则
．

由已知
，所以
，

所以
所以
．

设平面
的一个法向量为
，因为
,

所以
即

令
，得
．

设平面
的一个法向量为
，因为
,

所以
即

令
，则
．

若平面
平面
，则
，所以
，解得
．

所以当
时，平面
平面
．…………………………………………14分

（18）（本小题满分1 3分）

解：函数定义域为
， 且
…………2分

①当
，即
时，令
，得
，函数
的单调递减区间为
，

令
，得
，函数
的单调递增区间为
.

②当
，即
时，令
，得
或
，

函数
的单调递增区间为
，
.

令
，得
，函数
的单调递减区间为
.

③当
，即
时，
恒成立，函数
的单调递增区间为
. …7分

(Ⅱ)①当
时，由(Ⅰ)可知，函数
的单调递减区间为
，
在
单调递增.

所以
在
上的最小值为
，

由于
，

要使
在
上有且只有一个零点，

需满足
或
解得
或
.

②当
时，由(Ⅰ)可知，

（ⅰ）当
时，函数
在
上单调递增；

且
，所以
在
上有且只有一个零点.

（ⅱ）当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；

又因为
，所以当
时，总有
.

因为
，

所以
.

所以在区间
内必有零点.又因为
在
内单调递增，

从而当
时，
在
上有且只有一个零点.

综上所述，
或
或
时，
在
上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
，

依题意得
解得
，
.

所以椭圆
的方程为
. ………………………………………………4分

（Ⅱ）显然点
.

（1）当直线
的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得
，
，所以
. …………………………………………6分

（2）当直线
的斜率存在时，由题意可设直线
的方程为
，显然
时，不符合题意.

由
得
.

设
,则
.

直线
，
的方程分别为：
，

令
，则
.

所以
，
. ……………………10分

所以

. ……………………………………………12分

因为
，所以
，所以
，即
.

综上所述，
的取值范围是
. ……………………………………14分

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
. ……3分

（Ⅱ）数
的倍与
倍分别如下：

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为
，所以
.

对于排列
，此时
，

所以
的最大值为
. ……………………………………………………………8分

（Ⅲ）由于数
所产生的
个数都是较小的数，而数
所产生的
个数都是较大的数，所以使
取最大值的排列中，必须保证数
互不相邻，数
也互不相邻；而数
和
既不能排在
之一的后面，又不能排在
之一的前面.设
，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○

其中
任意填入
个□中，有
种不同的填法；
任意填入个圆圈○中，共有
种不同的填法；
填入个△之一中，有种不同的填法；
填入个△中，且当与
在同一个△时，既可以在
之前又可在
之后，共有
种不同的填法，所以当
时，使
达到最大值的所有排列的个数为
，由轮换性知，使
达到最大值的所有排列的个数为
. ……………………………13分