天津市五区县2013年高三质量调查试卷（一）

数学（文史类）

本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120

分钟．第1卷l至2页，第Ⅱ卷3至6页，

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案

涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)
是虚数单位，复数
/等于

(A)
(B)
(C)
(D)

(2)已知实数x，y满足条件

那么2x-y的最大值为

(A) -3 (B) -2

(C)1 (D)2

(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，

当输入挖的值为10时，输出S的值为

(A) 45 (B) 49

(C) 52 (D) 54

(4)设
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

(5)设x∈R，则“x>0"是“
"的

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(6)函数
在区间
上零点的个数为

(A)0 (B)l

(C)2 (D)3

(7)直角三角形ABC中，
，点D在斜边AB上，且
,
,若
，则

(A)
(B)

(C)
(D）

(8)下列函数中，同时具有性质：①图象过点(0，1):②在区间
上是减函数；

③是偶函数。这样的函数是

(A)
(B)

(C)
(D)

天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）

数 学（文史类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1-用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共12小题，共110分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

(9)已知集合

,

则
________．

(10)一个几何体的三视图如图所示（单位：m），

则该几何体的体积为_______
．

(11)如图，
内接于圆O，过点C的切线交

AB的延长线于点D，若
，

则切线DC的长为____．

(12)若
在圆
上，则直线
与圆
相交所得弦的长为_____________。

(13)已知抛物线
上一点
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值

为_______。

(14)，已知函数
,(其中e为自然对数的底数，且
，若
，则实数a的取值范围是______.

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(15)（本小题满分13分）

在
中，
．

(I)求
的值；

(Ⅱ)求sinB的值．

(16)（本小题满分13分）

某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．

(I)分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；

(Ⅱ)用
表示样本中一年级的志愿者，
表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，

①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况；

(17)（本小题满分13分）

如图，四边形ABCD为矩形，，SA
平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点，
,

(I)求证：EF∥平面SAB；

(Ⅱ)求证。SD
平面AEF；

(Ⅲ)求直线BF与平面SAD所成角的大小．

(18)（本小题满分13分）

已知等差数列
中
，公差d>0，前n项和为
，且
成等比

数列．

(I)求数列
的通项公式
及
；

(Ⅱ)设
，证明
．

(19)（本小题满分14分）

已知函数
，其中
．

( I)当a =1时，求函数
的单调递减区间；

(Ⅱ)若函数
在区间(1，2)上不是单调函数，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若
时，函数
在x=0处取得最小值，求实数a的取值范围．

(20)（本小题满分14分）

已知椭圆
的长轴长是短轴长的两倍，且过点
，点C

关于原点O的对称点为点D．

(I)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：

(Ⅲ)平行于CD的直线
交椭圆E于M，N两点，求
CMN面积的最大值，并求此时直线
的方程．

天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案

数 学（文史类）

一、选择题：

（1）（B） （2）（C） （3）（D） （4）（A）

（5）（C） （6）(C) （7）(D) （8）（A）

二、填空题：

（9）
（10）
(11)12 （12）2 （13）
（14）

三、解答题

（15）（Ⅰ）∵
∴
………………1分

∴
∴

∴
……………3分

与
联立得
，
………………5分

∴
……………………………………………………6分

∴
…………………………………………………7分

（Ⅱ）∵
……………………………………8分

∴
∴
………………10分

∵
…………………………………………………………………11分

∴
∴
…………………………………………13分

（16）（Ⅰ）依题意，分层抽样的抽样比为
……………………………………2分

∴ 在一年级抽取的人数为
人 ………………………………………3分

在二年级抽取的人数为
人 ………………………………………4分

（Ⅱ）①用
表示样本中一年级的2名志愿者，用
表示样本中

二年级的4名志愿者。则抽取二人的情况为

……………………9分

②抽取的二人在同一年级的情况是

共7种 ……………10分

由①知抽取二人的不同情况共有15种 …………………………………………11分

∵ 每一种情况发生的可能性都是等可能的 …………………………………………12分

∴ 抽取的二人是同一年级的概率为
………………………………………………13分

（17）（Ⅰ）∵
分别为
的中点 ∴
是
的边
的中位线

∴
∥
…………………………………………………………………………1分

∵ 四边形
为矩形 ∴
∥
∴
∥
…………………………2分

∵

平面

平面
∴
∥平面
………………………4分

（Ⅱ）∵
，
为
的中点 ∴
…………………………………5分

∵
平面
，
平面
∴

∵
，
是平面
内的两条相交直线

∴
平面

∵
平面
∴
………………………………7分

∵
∥

∴
…………………………………………………………8分

∵
是平面
内的两条相交直线

∴
平面
…………………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）
平面

∴
是
在平面
上的射影

∴
是直线
与平面
所成的角 ………………………11分

在直角三角形
中，

∴
………………………………13分

（18）（Ⅰ）由题意
，
，
………2分

∴

解得
（舍去）或
…………………………………………………4分

∴
…………………………………………………………6分

………………………………………………………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
………………………………10分

∴

即
………………………………………………………13分

（19）（Ⅰ）当
时，
．
,

由
得
,

即当
时，函数
的单调递减区间为
． …………3分

（Ⅱ）

依题意知方程
在区间（1，2）内有不重复的零点， ………5分

而
,由
得

∵x ∈（1，2）， ∴
,∴
；

令
（x∈（1，2）），则
，

∴
在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为
，

故
的取值范围是
． ………………………8分

（Ⅲ）由题意可知，当
[0，3]时，
=0恒成立,

即
[0，3]时,
恒成立． ………………………9分

记

当
时，
在
[0，3]时恒成立,符合题意；

当
时，由于
，则不符合题意；

当
时，由于
，则只需
，得
，

即
． ………………………13分

综上,
． ………………………14分

（20）（Ⅰ）
…………1分

椭圆E过点C（2，1）代入椭圆方程得

，

所求椭圆E的方程为
…………4分

（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上

CP和DP的斜率
均存在

设P（x，y）则

…………6分

又
点P在椭圆E上

所以CP和DP的斜率
之积为定值
…………9分

（Ⅲ）CD的斜率为
，

平行于直线

由

消去y，整理得

设

由

当且仅当
时取等号，即
时取等号

所以
面积的最大值为2

此时直线
的方程
………………………………14分