惠州市2013届高三第一次模拟考试

数学试题（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．设集合
若
且
则
等于( )

A．
B．
C． D．

2．已知复数
(为虚数单位），则复数
在复平面上所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设抛物线的顶点在原点,准线方程为
则抛物线的方程是( )

A．
B．
C．
D．

4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为 ( )

A．2 B．6 C．7 D．8

5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位：
），可得这个几何体的体积是（　　）

A．
B．
C．
D．

6．甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：

甲

乙

丙

丁



平均成绩

86

89

89

85



方差

2.1

3.5

2.1

5.6



从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）

A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．已知向量
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

8．设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品
万件时的生产成本为
(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( )

A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件

10．设
为曲线C：
上的点，且曲线C在点
处切线倾斜角的取值范围为
，则点
横坐标的取值范围为 ( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．某地区高中分三类，
类学校共有学生2000人，
类学校共有学生3000人，
类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则
类学校中应抽学生 人．

12．若等比数列{
}中
则
等于 ．

13. 执行如右图的程序框图，那么输出
的值是 ．

（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）

14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为
，曲线
：
上的点到直线的距离为
，则
的最大值为 ．

15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆
的直径
,
是
的延长线上一点，过点
作圆
的切线，切点为
，连接
，若
,则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）在
中，角
所对的边分别为
，且满足

（1）求角
的大小；

（2）求
的最大值，并求取得最大值时角
的大小．

17. （本小题满分12分）为了了解2013年某校高三学生的视

分组

频数

频率



（3.9，4.2]

3

0.06



（4.2，4.5]

6

0.12



（4.5，4.8]

25

x



（4.8，5.1]

y

z



（5.1，5.4]

2

0.04



合计

n

1.00



力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为
，
，… ，
经过数据处理，得到如右频率分布表：

（1）求频率分布表中未知量
的值；

（2）从样本中视力在
和
的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

18．（本小题满分14分）如图，直角梯形
与等腰直角
所在平面互相垂直，
为
的中点，

（1）求证：
；

（2）求四面体
的体积．

19.(本小题满分14分) 已知
，直线与函数
的图象都相切于点
．

（1）求直线的方程及
的解析式；

（2）若
（其中
是
的导函数），求函数
的极大值.

20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，一个顶点为
，且其右焦点到直线
的距离为3.

（1）求椭圆方程；

（2）设直线过定点
，与椭圆交于两个不同的点
，且满足
．

求直线的方程.

21．（本小题满分14分）已知数列
的相邻两项
是关于
的方程
的两根，且
．

（1）求证: 数列
是等比数列；

（2）设
是数列
的前
项和，求
；

（3）问是否存在常数
，使得
对任意
都成立，若存在，求出
的取值范围; 若不存在，请说明理由．

惠州市2013届高三第一次模拟考试试题

数 学（文科）答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

C

B

C

C

B

B

A





1．【解析】
，故
，故选A。

2.【解析】因为
,所以
对应的点在复平面的第二象限. 故选
．

3.【解析】抛物线的准线方程为
,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为
则其准线方程为
∴
解得
∴抛物线的标准方程为
.故选
。

4．【解析】数字共有
个,当数字
时,有
项,所以第
项是7，故选C。

5.【解析】由三视图可知，该几何体为底面是正方形边长为
，高为
的四棱锥，故
，故选B。

6.【解析】乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，丙的发挥较稳定，故选C。

7.【解析】
，
故
，解得
，故选C

8.【解析】做出不等式对应的可行域如图，由
得
，由图象可知当直线
经过点
时，直线的截距最大，而此时
最小
为，选B。

9.【解析】 利润
当
时,有最大值.故选B

10.【解析】设
，倾斜角为
，
，则
,解得
，故选A。

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）

11. 200 12. 16 13. -1 14.
15.

11.【解析】200人，高中生共有9000人，抽取900，抽取比例为
，故
类学校中应抽学生
人。

12.【解析】 ∵
是等比数列且
∴
.

13.【解析】由框图知：

不满足条件，输出
的值是
.

14.【解析】直线的直角坐标方程为
，曲线C的方程为
，为圆；
的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为

15.【解析】连接
，
，
中，
，故

，所以
，由切割线定理
，

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本题满分12分）

解：（1）由正弦定理得
……2分

因为
所以
从而
……4分

又
所以
则
……6分

（2）由（1）知
……7分

……9分

………………………………10分

从而当
即
时，
取最大值2.……………12分

17. （本小题满分12分）

解：（1）由表可知，样本容量为
，由
，得
，由
；…3分

，
……6分

（2）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为
，在（5.1，5.4]的2人为
．7分

由题意从5人中任取两人的基本事件如下：

，共有10个基本事件………9分

设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A等价于“抽取两人来自同一组”包含的基本事件有：

，共有4个基本事件 ……11分

∴
， 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为
． ……12分

18．（本小题满分14分）

（1）证：取
的中点
,连接
、
，………… 1分

则
为中位线，

又

…………3分

故四边形
是平行四边形,即
…5分

面
；
面

面
………7分

（2）解：
，面
面
且交于

面
，即
就是四面体
的高，
………10分

……………………………………………………12分

……………………………14分

19.(本小题满分14分) 解：（1）直线是函数
在点
处的切线，故其斜率
，

∴直线的方程为