大兴区2013年高三统一练习

数学（理科）

一、选择题

（1）复数
的值是

（A）2 （B）
（C）
（D）

（2）若集合
，
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

（3）执行如图所示的程序框图．若
，则输出
的值是

（A）-21 （B） 11

（C）43 （D） 86

(4)双曲线
的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于

（A）
（B）

（C）
（D）

(5)已知平面
，直线
，下列命题中不正确的是

（A）若
，
，则
∥
　

（B）若
∥
，
，则

（C）若
∥
，
，则
∥
　

（D）若
，
，则
．

(6)函数

（A）在
上递增 （B）在
上递增，在
上递减

（C）在
上递减 （D）在
上递减，在
上递增

（7）若实数
满足
，则关于
的方程
有实数根的概率是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）抛物线
绕
轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是

（A）1 （B）8

（C）
（D）

二、填空题

（9）函数
的最大值是 。

（10）已知直线
与曲线
有且仅有一个公共点，则

已知矩形ABCD中，
，
，E、F分别是BC、CD的中点，

则
等于 ．

（12）设
，则
。

如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），
,垂足为F．若
，
，则
。

已知函数
，定义

,
，(
,
)．把满足
（
）的x的个数称为函数
的“
周期点”．则
的
周期点是 ；
周期点是 ．

三、解答题

(15)（本小题满分13分）

在
中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,
，
，
．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求
及
的面积．

(16)（本小题满分13分）

期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：

学生













数学

89

91

93

95

97



物理

87

89

89

92

93



（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．

(17)（本小题满分13分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，
是等边三角形，D是BC的中点．

（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；

（Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．

(18)（本小题满分14分）

已知函数
，
．

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)函数
在区间
上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分14分）

已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为
，点P的轨迹为曲线C。

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求证，A、D、N三点共线。

(20)（本小题满分13分）

已知数列
的各项均为正整数，且
，

设集合
。

性质1 若对于
，存在唯一一组
（
）使
成立，则称数列
为完备数列，当k取最大值时称数列
为k阶完备数列。

性质2 若记
，且对于任意
，
，都有
成立，则称数列
为完整数列，当k取最大值时称数列
为k阶完整数列。

性质3 若数列
同时具有性质1及性质2，则称此数列
为完美数列，当
取最大值时
称为
阶完美数列；

（Ⅰ）若数列
的通项公式为
，求集合
，并指出
分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列
的通项公式为
，求证：数列
为
阶完备数列，并求出集合
中所有元素的和
。

（Ⅲ）若数列
为
阶完美数列，求数列
的通项公式。

2013年高三统一练习

高三数学（理科）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D （2）C （3）A （4）D

（5）C （6）D （7）C （8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（12）

（13）
（14）
，

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（本小题共13分）

解:（Ⅰ）因为
,所以

由正弦定理:
知
得:

（Ⅱ）在
中,

的面积为:

（16）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:

5名学生数学成绩的方差为:

5名学生物理成绩的平均分为:

5名学生物理成绩的方差为:

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

（Ⅱ）由题意可知，
，
，

随机变量
的分布列是

X

0

1

2



P（X）











（17）（本题满分13分）

证明：（I）因为三棱柱
是直三棱柱，所以四边形
是矩形。

连结
交
于O，则O是
的中点，又D是BC的中点，所以在
中，
。

因为
平面
，
平面
，所以
平面
。

（II）因为
是等边三角形，D是BC的中点，所以
。以D为原点，建立如图所示空间坐标系
。由已知
，得：

，
，
，
.

则
，
，设平面
的法向量为
。

由
，得到
，令
，则
，
，所以
.

又
，得
。

所以

设
与平面
所成角为
，则
。

所以
与平面
所成角的正弦值为
。

（18）（本题满分14分）

解：（I）
，
.

由
，得
，或
.

①当
，即
时，在
上，
，
单调递减；

②当
，即
时，在
上，
，
单调递增，在
上，
，
单调递减。

综上所述：
时，
的减区间为
；
时，
的增区间为
，
的减区间为
。

（II）（1）当
时，由（I）
在
上单调递减，不存在最小值；

（2）当