2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

D

A

C

B

B

C

A

B





二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．

11．
12．
13．
；
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分）

解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为

．

据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为
．………………………………………………3分

（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为
、
、
、
、
、
，

所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，共15种情形．…………………………………………………7分

其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的有
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，共10种．

……………………10分

所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的概率为
． ………………12分

17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）

解：（1）在△
中，因为

，

，

，

由余弦定理得
………………………………………………………2分

． ……………………………………………………3分

因为
为△
的内角，所以
．……………………………………………………4分

（2）方法1：因为发射点
到
、
、
三个工作点的距离相等，

所以点
为△
外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分

设外接圆的半径为
，

在△
中，由正弦定理得
， ……………………………………………………………7分

因为
，由（1）知
，所以
．

所以
，即
．…………………8分

过点
作边
的垂线，垂足为
，…………………………9分

在△
中，
，
，

所以
………………………………………………………11分

．

所以点
到直线
的距离为

．……………………………………………………………12分

方法2：因为发射点
到
、
、
三个工作点的距离相等，

所以点
为△
外接圆的圆心．……………………5分

连结
，
，

过点
作边
的垂线，垂足为
， …………………6分

由（1）知
，

所以
．

所以
．…………………………………………………………………………………………9分

在
△
中，
，

所以
．…………………………………………………………11分

所以点
到直线
的距离为

．……………………………………………………………12分

18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）

（1）证明：因为
，所以
，
．………………………………1分

因为
，所以
平面
．…………………………………………………………2分

因为
平面
，所以
．………………………………………………………………3分

因为
，所以
．……………………………………………………………………4分

因为
，所以
平面
．…………………………………………………………5分

因为
平面
，所以平面
平面
．………………………………………………6分

（2）方法1：由已知及（1）所证可知，
平面
，
，

所以
是三棱锥
的高．……………………………7分

因为
，
，设

，……………8分

所以
．…………9分

因为

………………………………………………………………………………10分

…………………………………………………………………………11分

．…………………………………………………………………………………………12分

当且仅当
，即
时等号成立．………………………………………………………13分

所以当三棱锥
的体积最大时，
．…………………………………………………14分

方法2：由已知及（1）所证可知，
平面
，

所以
是三棱锥
的高．………………………………………………………………………7分

因为
，设

，……………………………………………………8分

则
，
．……………………………………………9分

所以
．………………………………………10分

所以

． ………………………………………………………………………………11分

因为
，

所以当
，
有最大值
． …………………………………………………………………12分

此时
．………………………………………………………………………………13分

所以当三棱锥
的体积最大时，
．…………………………………………………14分

19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）

解：（1）设等差数列
的公差为
，

因为
即
………………………………………………………………………2分

解得
………………………………………………………………………………………………3分

所以
．

所以数列
的通项公式为

． …………………………………………………4分

（2）因为
， ……………………………………………5分

所以数列
的前
项和

．……………………………………………………………………………7分

假设存在正整数
、
，且
，使得
、
、
成等比数列，

则
．……………………………………………………………………………………………8分

即
．………………………………………………………………………………9分

所以
．

因为
，所以
．

即
．

因为
，所以
．

因为
，所以
．……………………………………………………………………………12分

此时
．…………………………………………………………………………13分

所以存在满足题意的正整数
、
，且只有一组解，即
，
． ………………………14分

20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）

解：（1）因为函数
，

所以函数
的定义域为
．……………………………………………………………………1分

且
．………………………………………………………………………………………2分

若
在定义域上是增函数，

则
在
上恒成立．…………………………………………………………3分

即
在
上恒成立，所以
． …………………………………………………………4分

由已知
，

所以实数
的取值范围为
．……………………………………………………………………5分

（2）①若
，由（1）知，函数
在区间
上为增函数．

所以函数
在区间
上的最小值为
．…………………………………………………6分

②若
，由于
，

所以函数
在区间
上为减函数，在区间
上为增函数．………………………7分

（ⅰ）若
，即
时，
，

函数
在区间
上为增函数，

所以函数
在
的最小值为
．…………………………………………………………9分

（ⅱ）若
，即
时，

函数
在区间
为减函数，在
上为增函数，

所以函数
在区间
上的最小值为
．……………………………………11分

（ⅲ）若
，即