南京九中2013届高三第二学期二模模拟

数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1、若
，且
为纯虚数，则实数
．

解析：
为纯虚数，故得
．

2、设集合
，则
．（2,3）

3、某市高三数学抽样考试中，对

分及其以上的成绩情况进行统计，其频率

分布直方图如右下图所示，若

分数段的人数为
人，则
分数

段的人数为 ．

解析：根据直方图，组距为
，在
内的
，所以频率为
，因为此区间上的频数为
，所以这次抽考的总人数为
．

因为
内的
，所以频率为
，设该区间的

人数为
，则由
，得
，即
分数段的人数

为
．

4、已知在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域

面积是9，则常数
的值为_________．1

5、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，

现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．

6、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组

为_________．

7、圆柱形容器的内壁底半径是
cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了
cm，则这个铁球的表面积为 ▲
.
.

8、若方程
仅有一个实根，那么
的取值范围是 ▲ .

或

9、若实数
、
满足
，则
的最大值是 ▲ ．4

10、若椭圆
的左、右焦点分别为
、
，线段
被抛物线
的焦点分成
两段，则此椭圆的离心率为 ．

解析：根据题意，可得
，解得
．

11.已知变量
，则
的最小值为 ▲ .

9

12、当
时，
恒成立，则实数
的取值为 ．

13．如图，两射线
互相垂直，在射线
上取一点
使
的长为定值
，

在射线
的左侧以
为斜边作一等腰直角三角形
．在射线
上各有一个动点
满足
与
的面积之比为
，

则
的取值范围为________________．

14．已知定义在
上的函数
和
满足
，
，
．令
，则使数列
的前
项和
超过15/16的最小自然数
的值为 　　 ．5

解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前
项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出
的值，从而得到数列
的通项公式．

解析：∵
，且
，∴
，从而有
，

又
，知
为减函数，于是得
，
，由于
，故得使数列
的前
项和
超过
的最小自然数
．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角
、
、
的对边分别为
，
，
，且
，
，若

，求
，
的值．

15. 解：（1）
，…………3分

则
的最小值是－2， …………5分

最小正周期是
； …………7分

（2）
，则
，

，

，
， …………10分

，由正弦定理，得
，① …………11分

由余弦定理，得
，即
， ②

由①②解得
． …………14分

16．（本小题满分14分）

在直三棱柱
中，AC=4,CB=2,AA1=2，
，E、F分别是

的中点．

（1）证明：平面
平面
；

（2）证明：
平面ABE；

（3）设P是BE的中点，求三棱锥
的体积．

16.（1）证明：在
，∵AC=2BC=4,

∴
，∴
，∴

由已知
， ∴

又∵
…………5分

（2）证明：取AC的中点M，连结

在
,

而
，∴直线FM//平面ABE

在矩形
中，E、M都是中点，∴

而
，∴直线

又∵
∴

故
…………………………10分

（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明
EG，从而得证）

（3）取
的中点
，连结
，则
且
，

由（1）
，∴
，

∵P是BE的中点，

∴
…………………………………14分

17、（本小题满分14分）

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率
与日产量
（万件）之间大体满足关系：

（其中
为小于6的正常数）

（注：次品率=次品数/生产量，如
表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额
（万元）表示为日产量
（万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

解：（1）当
时，
，

当
时，
，

综上，日盈利额
（万元）与日产量
（万件）的函数关系为：

------------------------- 6

（2）由（1）知，当
时，每天的盈利额为0

当
时，

当且仅当
时取等号

所以
当
时，
，此时

当
时，由
知

函数
在
上递增，
，此时

综上，若
，则当日产量为3万件时，可获得最大利润

若
，则当日产量为
万件时，可获得最大利润 -------------------------14

18．（本小题满分16分）

已知椭圆

的离心率为
，一条准线
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设O为坐标原点，
是
上的点，
为椭圆
的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆
交于
两点．

①若
，求圆
的方程；

②若
是l上的动点，求证点
在定圆上，并求该定圆的方程．

18. 解：（1）由题设：
，
，
，

椭圆
的方程为：
………………………… 4分

（2）①由（1）知：
，设
，

则圆
的方程：
， ………………………… 6分

直线
的方程：
， ………………………… 8分

，
， ………………………… 10分

，

圆
的方程：
或
…………… 12分

②解法（一）：设
，

由①知：
，

即：
， ………………………… 14分

消去
得：
=2

点
在定圆
=2上． ………………………… 16分

解法（二）：设
，

则直线FP的斜率为
，

∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为
，

∴直线OM的方程为：
，

点M的坐标为
． …………………………14 分

∵MP⊥OP，∴
,

∴

∴
=2,
点
在定圆
=2上． …………………………16 分

19．（本小题满分16分）

已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前
项和，且满足

，
．数列
满足
，
为数列
的前n项和．

（1）求数列
的通项公式
和数列
的前n项和
；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）是否存在正整数

，使得
成等比数列？若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．

19.解：（1）（法一）在
中，令
，
，

得
即
………………………2分

解得
，
，

又
时，
满足
，
………………3分

，

． ………………5分

（法二）

是等差数列，

． …………………………2分

由
，得
，

又
，
，则
． ………………………3分

(
求法同法一)

（2）①当
为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立． …………………………………6分

，等号在
时取得．

此时
需满足
． …………………………………………7分

②当
为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立． …………………………………8分

是随
的增大而增大，
时
取得最小值
．

此时
需满足
． …………………………………………9分

综合①、②可得