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广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷1

一、选择题：每小题5分，共40分）

1．记集合M
，N
，则
（ ）

A．
Ｂ．
C．
D．

2．下列函数中，最小正周期为
，且图象关于直线
对称的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为 （ ）

A．4 B．3 C．2 D．

4. 已知
均为单位向量，它们的夹角为
，那么
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知两个不同的平面
，
和两条不重合的直线
，
，在下列四个命题中错误的是（ ）

A．若
∥
，
，则
∥
Ｂ．若
⊥
，
⊥
，则
∥

C．若
∥
，
⊥
，则
⊥
D．若
⊥
，
∥
，
，则
⊥

6.下图给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）

A.
B.
C.
D.

7．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如上图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为
，视力在4.6到5.0之间的学生人数为
，则
、
的值分别为（ ）

A. 0.27，78 B. 0.27，83 C. 2.7，78 D. 2.7，83

8．设
是定义在R上的奇函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）

A．

B．

C．
或
D．
或

二、填空题：（每小题5分，共30分）

9. 复数
（
）在复平面上所对应的点在第二象限上，则
的取值范围是　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10．
的展开式中x2项的系数为60，则实数a=

11．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
．

12．若直线
与圆
相交于P、Q两点，且点P、Q关于直线
对称，则不等式组
表示的平面区域的面积为________.

13．若不等式
的解集为
，则
的取值范围为 ．

14．极坐标系下，直线
与圆
的公共点个数是_______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15．（本小题满分12分）已知

函数
，且函数
的最小正周期为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
在
上的单调区间.

16．（本小题满分12分）已知圆经过点
和
.

(1)若圆心在直线
上，求圆的方程.

(2)若圆的面积最小，求圆的方程；

17．（本小题满分14分）在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两个比赛一场），共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为
.

（1）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率；

（2）若每场比赛胜者得
分，负者得
分，设在此次比赛中甲得分数为
，求
.

18．（本小题满分14分）如图，已知
平面
，
平面
，△
为等边三角形，

，
为
的中点.

(1) 求证：
平面
；

(2) 求证：平面
平面
；

(3) 求直线
和平面
所成角的正弦值.

19．（本小题满分14分）设
为数列
的前
项和，对任意的
，都有

为常数，且
．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）设数列
的公比
，数列
满足
，求数列
的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分14分）已知函数
（
），其中
．

（1）当
时，讨论函数
的单调性；

（2）若函数
仅在
处有极值，求
的取值范围；

（3）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题：ABCB ABAC

二、填空题：9。
10。
11。27 12。
13。
。14.2

三、解答题

15．（1）
………………2分

………4分

因为函数
的最小正周期为
，所以
.

. ………………6分

（2）由
，得
………………9分

由
，得
……….11分

所以单调增区间
;单调减区间
……12分

16．(1) 因为
,
中点为
，所以
中垂线方程为
，即
，

解方程组
得
……………………………… 3分

所以圆心
.由两点间的距离公式，得半径
,所求的圆的方程为
. 6分

(2)要使圆的面积最小，则
为圆的直径，所以所求圆的方程为：
…… 12分

17．解：（1）设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件
，

则
6分

（2）
可能的取值为

，

，

， 12分

0

1

2















18．方法一：

(1) 证法一：取
的中点
，连
.

∵
为
的中点，∴
且
. …………1分

∵
平面
，
平面
，

∴
，∴
. …………2分

又
，∴
. …………3分

∴四边形
为平行四边形，则
. …………4分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………5分

证法二：取
的中点
，连
.

∵
为
的中点，∴
. …………1分

∵
平面
，
平面
，∴
. …………2分

又
，

∴四边形
为平行四边形，则
. …………3分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
，
平面
.

又
，∴平面
平面
. …………4分

∵
平面
，

∴
平面
. …………5分

(2) 证：∵
为等边三角形，
为
的中点，∴
. …………6分

∵
平面
，
平面
，∴
. …………7分

又
，故
平面
. …………8分

∵
，∴
平面
. …………9分

∵
平面
，

∴平面
平面
. …………10分(3)

解：在平面
内，过
作
于
，连
.

∵平面
平面
， ∴
平面
.

∴
为
和平面
所成的角. …………12分

设
，则
，

，

R t△
中，
.

∴直线
和平面
所成角的正弦值为
. …………14分

方法二：

设
，建立如图所示的坐标系
，则

.…………2分

∵
为
的中点，∴
. …………3分

?(1) 证：
， …………4分

∵
，
平面
，∴
平面
. …………5分

?(2) 证：∵
， …………6分

∴
，∴
. …………8分

∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
. …………10分

?(3) 解：设平面
的法向量为
，由
可得：

，取
. …………12分

又
，设
和平面
所成的角为
，则

.

∴直线
和平面
所成角的正弦值为
. …………14分

………

19．（1）证明：当
时，
，解得
．…………………1分

当
时，
．即
．………………………2分

又
为常数，且
，∴

．………………………3分

∴数列
是首项为1，公比为
的等比数列．……………………4分

（2）解：由（1）得，

，
． ………………………5分

∵
，∴
，即

．………………7分

∴
是首项为
，公差为1的等差数列．………………………………………8分

∴
，即
（
）．……………………………9分

（3）解：由（2）知
，则
．所以
，…10分

即

， ① ……11分

则
， ②………12分

②－①得
，………………………13分

故
．……………………14分

20.解：（1）
．　

当
时，
．令
，解得
，
，
．　　

当
变化时，
，
的变化情况如下表：



0







2







－

0

＋

0

－

0

＋





↘

极小值

↗

极大值

↘

极小值

↗



所以
在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．

（2）
，显然
不是方程
的根．

为使
仅在
处有极值，必须
恒成立，即有
．

解此不等式，得
．这时，
是唯一极值．

因此满足条件的
的取值范围是
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（3）由条件
及（II）可知，
．

从而
恒成立．　　

当
时，
；当
时，
．

因此函数
在
上的最大值是
与
两者中的较大者．

为使对任意的
，不等式
在
上恒成立，当且仅当
，

即
，在
上恒成立．所以
．

因此满足条件的
的取值范围是
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