北京市2013年网站高考预测系列试题

【数学】高考预测试题（2）·解答题

1. （本题12分）（1）设
,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）直线
过（0,1）点与抛物线
只有一个公共点，求直线
的方程；

（3）直线
过（1,1）点与双曲线
交于
两不同点，且
的中点为（1,1），求直线
的方程。

2. （本题12分）已知锐角
中内角
、
、
的对边分别为
、
、
，
，且
.

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）设函数
，
图象上相邻两最高点间的距离为
，求
的取值范围.

3. （本题12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
,
,
，
，
，
.

（Ⅰ）从中任意拿取
张卡片，若其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．

4. （本题14分）

已知等差数列
（
N+）中,
,
,
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
证明：

（3）若将数列
的项重新组合，得到新数列
，具体方法如下:

，

，

，

，

…,

依此类推，第
项
由相应的
中
项的和组成。

求数列
的前
项和
.

答案：

1. （本小题满分12分）

解:（1）因为,
,
,所以
, 即
.

当m=0时,方程表示两直线,方程为
;

当
时, 方程表示的是圆

当
且
时,方程表示的是椭圆;

当
时,方程表示的是双曲线.

解：（2）

若直线
的斜率不存在，
，此时恰与抛物线相切，满足题意；

若直线
的斜率存在，设
与抛物线
联立得：

若
直线
为：
，方程
仅有一解（或从图形上分析），满足题意；

若

中
得：
，此时直线

综上述：满足题意的直线
的方程为：
，
，

解：（3）法一（韦达定理）

若直线
斜率不存在显然不合题意；

若直线
斜率存在，则设
与双曲线联立得：。。。。。。。经检验不符合
；

故直线
无解

法二（点差）

故直线
无解

2.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为
,由余弦定理知
所以
………2分

又因为
,则由正弦定理得:
，所以
所以
…6分

（Ⅱ）

由已知
,则
…………………8分

因为
,
,由于
,所以
……10分

所以
，根据正弦函数图象,所以
…………12分

3．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
为偶函数；

为奇函数；
为偶函数
;
为奇函数…………3分

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为

故所求概率为
………………………………………………6分

（Ⅱ）
可取1，2，3，4． …………………………………………………7分

，

；

故
的分布列为

1

2

3

4















 ……………………………10分


的数学期望为
………………………12分

4、解：（1）由
与
，解得:
或
（由于
，舍去）

设公差为
，则
,解得

所以数列
的通项公式为
……………………………………4分

（2）下面用数学归纳法证明不等式
成立.

当
时,左边=
,右边=
,因为
,所以不等式成立.。。。。。。。1分

假设当
时不等式成立,即
成立.。。。。。。。。1分

则当
时,左边=

下面证明
，即证：
，即证：

（注：也可以这样比较：要证
即证：
，平方即可！）。。。。1分

所以当
时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.。。。。。。。1分

（也可以用比较法算出
的大小，只需平方一次就能算出！）

（3）由题意得:

…………………………10分

而
是首项为
,公差为
的等差数列的前
项的和,

所以

所以
………………………………12分

所以
，所以
…………14分