吉林省2013年高考复习质量监测

理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题

（1）（B） （2）（C） （3）（A） （4）（D） （5）（D） （6）（B）

（7）（C） （8）（D） （9）（A） （10）（C） （11）（B） （12）（C）

二、填空题

（13）
（14）5 （15）18 （16）-512

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）∵
，∴
.

∴
，……………………4分

∴
是首项为
，公差为1的等差数列. ………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

∵
，………………………………………………8分

∴

． …………………………………12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
．

为正三角形，
．

平面
平面
，平面
平面

平面

平面
，∴
．…………………………………………………4分

∵正方形
中，
分别为
的中点，

∴
.又
，

平面
，
． …………………………………………………6分

（Ⅱ）取
中点，以为原点，分别以
、
、
的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，不妨设
.

由题意知
，

，
，则
，
，
，
， ……………………………8分

设
是平面
的法向量，

则
即
可取
，

同理，设是平面
的法向量，可取
，

∴
，

∴二面角
的余弦值
.………………………………………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ……………2分

根据题意，的可能取值为
.

，
，
.

的分布列如下：

X

0

1

2



P









 …………………………………………………6分

（Ⅱ）
列联表：

甲班

乙班

合计



进入决赛

3

10

13



未进入决赛

17

10

27



合计

20

20

40



 …………………………………………………9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关.…………12分

（20）解：

（Ⅰ）NM为AP的垂直平分线，∴|NA|=|NP|，

又∵|CN|+|NP|=
，∴|CN|+|NA|=
>2.

∴动点N的轨迹是以点
，
为焦点的椭圆， ……………………3分

且长轴长
，焦距
，∴
，

∴曲线E的方程为
． ……………………………………………………5分

（Ⅱ）⑴ 当直线
与轴重合时，
不存在.

⑵ 当直线
与轴不重合时，

设直线
的方程为

，则

由
得

…………………………………………………7分

点到直线
的距离

………………………………10分

设

则

此时，

…………………………………………………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）
，

∵
是函数
的极值点，∴
.

∵1是函数
的零点，得
，

由
解得
. …………………………………………………2分

∴
,
，

令
，
，得
；

令
得
，

所以
在
上单调递减；在
上单调递增. ………………………………4分

故函数
至多有两个零点，其中

，

因为
，
，
，

所以
，故
．…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）令
，
，则
为关于
的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意
，都存在
，使得
成立，

则
在
有解，

令
，只需存在
使得
即可，

由于
=
，

令
，
，

∴
在(1，e)上单调递增，
，………………………………………9分

①当
，即
时，
，即
，
在(1，e)上单调递增，

∴
，不符合题意.

②当
，即
时，
，

若
，则
，所以在(1，e)上
恒成立，即
恒成立，

∴
在(1，e)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

若
，则
，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得
，

∴在(1，m)上
恒成立，即
恒成立，
在(1，m)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

综上所述，当
时，对任意
，都存在
，使得
成立.

…………………………………………………12分

（Ⅱ）方法二

，
，

设
，

因为
，所以
在
上单调递增，且
，

（1）当
，即
时，因为
，所以
.

此时
，所以
在
上恒成立；即
在
上单调递增.

若存在
，使得
成立，则
，即
恒成立.

因为
，则
时不成立，所以
不成立. ……………………………9分

（2）因为
，所以
，

当
，即
时，因为
，所以
.此时，

（i）当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递减.

因为
，所以存在
，使得
成立.

（ii）当
时，则存在
，使得
，因为
在
上单调递增，

所以当
时，
，则
在
上单调递减；

因为
，故在
内存在
，使得
成立.

综上：满足条件的a的取值范围为
.……………………………………………12分

（22）证明：

（Ⅰ）过O作OG⊥EF，则GE＝GF，OG∥AB．

∵O为AD的中点，∴G为BC的中点．

∴BG＝CG， ∴BE＝CF. ………………………………5分

（Ⅱ）设CD与⊙O交于H，连AH，∵∠AHD＝90°，

∴AH∥BC, ∴AB＝CH．∵CD·CH＝CF·CE，

∴AB·CD＝BE·BF. …………………………………………………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）由已知得，

直线的参数方程为
， ………………………………………3分

圆的直角坐标方程为
. ………………………………………………5分

（Ⅱ）将
代入
，

整理得
，设方程两根分别为
则

根据参数的几何意义，得点到
两点的距离之积为
. ……………10分

（24）解：

（Ⅰ）由|ax＋1|＞5得
或
．

又f(x)＞5的解集为{x|
或
}，

当a＞0时，
或
，得a＝2．

当a≤0时，经验证不合题意．

综上，
. ……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）设g(x)＝f(x)－
，则

则函数
的图象如下：

由图象可知，g(x)≥
，

故原不等式在上有解时，k≥
．

即的取值范围是k≥
．………………………………………………………10分