吉林省2013年高考复习质量监测

文科数学试题答案及评分参考

评分说明：

本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题

（1）（B） （2）（A） （3）（B） （4）（D） （5）（D） （6）（B）

（7）（A） （8）（C） （9）（D） （10）（A） （11）（C） （12）（C）

二、填空题

（13）
（14）6 （15）5 （16）-512

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）设数列{
}公差为d.

∵
，
，

∴
， ∴
，

即数列{
}的通项公式为
. …………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
， …………………………………………8分

∴

. ……………………………………………………………12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
．

为正三角形，
．

平面
平面
，

平面
平面

平面

平面
，

∴
．…………………………………………………………………………4分

∵正方形
中，
分别为
的中点，∴
.

又
，
平面
，

．…………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）连结
，则
.

∴三棱锥
的体积为
.……………………………………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. …………2分

为拥有“优先挑战权”的选手编号为1，2，3，其余3人编号为A，B，C.

被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：

123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，

23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，

3AB，3AC，3BC，

ABC，……………………………………………………………………………………4分

其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：

1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，

∴所求概率为
. …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
列联表：

甲班

乙班

合计



签约歌手

3

10

13



未签约歌手

17

10

27



合计

20

20

40



 ………………………………………………9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关.

…………………………………………………12分

（20）解：

（Ⅰ）NM为AP的垂直平分线，∴|NA|=|NP|，

又∵|CN|+|NP|=
，∴|CN|+|NA|=
>2.

∴动点N的轨迹是以点
，
为焦点的椭圆，………………………3分

且长轴长
，焦距
，∴
，

∴曲线E的方程为
.…………………………………………………………5分

（Ⅱ）设G(x1，kx1)，H(x2，y2)，则F(－x1，－kx1)，Q(0，kx1)，

直线FQ的方程为y＝2kx＋kx1，

将其代入椭圆E的方程并整理可得

(2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x12－2＝0.

依题意可知此方程的两根为－x1，x2，于是由韦达定理可得

－x1＋x2＝
，即
.

因为点H在直线FQ上，

所以y2－kx1＝2kx2＝
.…………………………………………………………9分

于是
＝(－2x1，－2kx1)，

＝(x2－x1，y2－kx1)＝(
，
)．

而
等价于
.…………………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）
，

∵
，
，∴
，
.……………………………………………3分

∴

，

∴令
，得
的增区间

令
，得
的减区间
. ………………………………………………5分

（Ⅱ）根据题意，对任意
，及任意
，使得
成立，

即
成立，

令
，
，则
是关于b的一次函数且为增函数，
在
上恒成立，

即
在
上恒成立，………………………………………………………7分

令

，
，
，

令
，
，

设
，
，所以
为增函数，所以
，

所以
，
为增函数，所以
，

所以
，
为增函数，所以
，…………11分

所以
. ……………………………………………………………………12分

（22）证明：

（Ⅰ）过O作OG⊥EF，则GE＝GF，OG∥AB．

∵O为AD的中点，∴G为BC的中点．

∴BG＝CG， ∴BE＝CF. ………………………………5分

（Ⅱ）设CD与⊙O交于H，连AH，∵∠AHD＝90°，

∴AH∥BC, ∴AB＝CH．∵CD·CH＝CF·CE，

∴AB·CD＝BE·BF. …………………………………………………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）由已知得，

直线的参数方程为
， ………………………………………3分

圆的直角坐标方程为
. ………………………………………………5分

（Ⅱ）将
代入
，

整理得
，设方程两根分别为
则

根据参数的几何意义，得点到
两点的距离之积为
. ……………10分

（24）解：

（Ⅰ）由|ax＋1|＞5得
或
．

又f(x)＞5的解集为{x|
或
}，

当a＞0时，
或
，得a＝2．

当a≤0时，经验证不合题意．

综上，
. ……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）设g(x)＝f(x)－
，则

则函数
的图象如下：

由图象可知，g(x)≥
，

故原不等式在上有解时，k≥
．

即的取值范围是k≥
．………………………………………………………10分