湖南省2013年六校联考数学（理）考试试题卷

湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、

岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中

时量120分钟 满分150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（ ）

A .
B.
C.
D.

2、下列说法中正确的是（ ）．

A．“
”是“
”必要不充分条件；

B．命题“对
，恒有
”的否定是“
，使得
”．

C．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函数

D．设
，
是简单命题，若
是真命题，则
也是真命题；

3、两个变量
与
的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数
如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )

A.模型1（相关指数
为0.97） B.模型2（相关指数
为0.89）

C.模型3（相关指数
为0.56 ） D.模型4（相关指数
为0.45）

4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，点P是AB的中点，则
（ ）

A 10 B -10 C 20 D -20

如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（ ） A
B
C
D

6、已知
（
为锐角）， 则
（ ）

A．
B．

C．
D．

7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为
，过抛物线上一点
向准线
作垂线，垂足为
,若
为等边三角形,

则抛物线的标准方程是 ( ）．

A．
B．

C．
D.

8、已知函数f (x)=
与 g(x)=sin
有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x)=（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）

（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）

9. 以直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程是
，直线
的极坐标方程是
，则直线
与曲线C相交的交点个数是______.

10. 如图，
是圆
的直径，点
在
的延长线上，

且
．
切圆
于
，
是
的中点，

直线
交圆
于
点．则
　　　　　　．

11、设
，则函数y =
的最大值是　　　．

(二) 必做题（12~16题）

12、设复数
(其中
为虚数单位)，则
等于

13、已知
的展开式中只有第5项的二项式系数最大，

则含
项的系数= ______.

14、执行右边的程序框图，若输出的T=20，

则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号）

。（①T≥S，②T＞S，③T≤S，④T＜S）

15. 设矩形区域
由直线
和
所围成的平面图形，区域
是由余弦函数
、
及
所围成的平面图形．在区域
内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域
的概率是　　　　　　．

16. 用
三个不同字母组成一个含

个字母的字符串，要求由字母
开始，相邻两个字母不能相同. 例如
时，排出的字符串是
；
时排出的字符串是
,…….记这种含
个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是
的字符串的个数为
. 故
.

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。现张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为
，科目三考试合格的概率为
，且每次考试或补考合格与否互不影响。

（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。

（2）若张某不放弃所有考试机会，记
为参加考试的次数，求
的分布列与数学期望。

18．（本题满分12分）由五个直角边为
的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD.

求证：FB⊥AD

求二面角C-EF-D的正切值.

19、（本题满分12分）已知数列
是递增的等比数列，满足
，且
的等差中项，数列
满足
，其前
项和为
，且

（1）求数列
，
的通项公式

（2）数列
的前
项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求实数
的取值范围。

20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。 该部件由5个A零件和2个B零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗10度电。 已知A、B两种零件毛坯采购价格均为4元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度, 超过5000度的部分每度电增加c （c > 0）元. 设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考虑人工成本的条件下, 问：

(1) 每月若投入资金1万元, 可生产多少件部件?

(2) 每月若有2万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?

21. （本题满分13分）已知P（0，-1）与Q（0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一动点M（x,y)作Y轴的垂线，垂足为N，点E满足
，且
。

求曲线C的方程。

设曲线
与x轴正半轴交于点
，任作一直线
与曲线
交于
两点（
不与
点重合）且
，求证
过定点并求定点的坐标。

22、（本题满分13分）已知函数

（1）讨论
的单调性与极值点。

（2）若
, 证明当
时，
的图象恒在
的图象上方.

（3）证明

湖南省2013年六校联考数学考试试题答案

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

A

B

B

B

D

C





二、填空题：

9、2

10、
，
，因
是
的中点，所以
．

11、由柯西不等式，得
．

或用基本不等式：
．

12、2i

13、28

14 ②

15、阴影面积为

，

故所求的概率为
．

16、答案：

解析：

所以，

所以，
两式相减得：

当
为偶数时，利用累加法得
=
所以，
；

当
为奇数时，利用累加法得
=
所以，
.

综上所述:

三、解答题答案：

17、答案：

解：设“科目二第一次考试合格”为事件A1； “科目二补考考试合格”为事件A2；

“科目三第一次考试合格”为事件B1； “科目三补考考试合格”为事件B2；

则A1、A2、B1、B2相互独立。

（1）他不需要补考就可获得驾证的概率为：

…………………………………………5分

（2）
的可能取值为2，3，4

∵

…………………………………………9分

∴
的分布列为

2

3

4



P











…………………………………………………12分

答案：

解：

法一：(1)作FO⊥AD于O，连OB. .......................(1分）

∵等腰直角三角形AFD, ∴点O为AD的中点.

而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD, 而FO∩BO=O，

∴AD⊥平面FOB, ∴FB⊥AD .....................（5分）

∵等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB,

∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AD .....................（7分）

又 ∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD，

∴CD⊥平面ADEF. 作DM⊥FE，连接MC，

∠DMC即为二面角C-EF-D的平面角. ...................（10分）

在直角三角形MDC中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 ,

∴tan∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D的正切值为2. ...................（12分）

法二：（1）作FO⊥AD于O，连OB，∵平面ADEF⊥平面ACD，∴FO⊥平面ADC.

∵等腰直角三角形AFD, ∴点O为AD的中点.而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD

如图，建立空间直角坐标系，

∴F（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1 ) .................(2分）

∵
,∴FB⊥AD .................(5分）

显然平面DEF的法向量
， ................(7分）

平面CEF中，
,

∴平面CEF的法向量
， ...............(10分）

∴
∴

∴二面角C-EF-D的正切值为2. .................(12分）

答案：

解（1）设等比数列
的公比为
则

是

的等差中项

................(3分）

依题意，数列
为等差数列，公差

又
. ...............(6分）

（2）
. ...............(8分）

不等式
化为
..........(9分）

对一切
恒成立。

而

当且仅当
即
时等式成立。
................(12分）

答案：

解：设产量为x件, 总成本y元, 生产200件需要1000个A零件, 生产500件需要1000个B零件, 并需要5000度电。 …..(1分)

当
时, y=(5x+