南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七）

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

1．已知复数
，则
的虚部为( )

A.2
B.
C.
D.

2．设
为非空集合,定义集合A*B为如图阴影部分表示的集合，

若

则A*B=( )

A．（0，2） B．
C．（1,2] D．

3．已知
，则
的值为( )

A．
B．
C．1 D．2

4．若
，且
，则
( )

A．
B．
C．
D．

5．观察下列各式：
，
，
，…．若
，则
( )

A.43 B．57 C．73 D．91

6．一次考试某简答题满分5分，以
分为给分区间．这次考试有
人

参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按
分

组所得的频率分布直方图如图所示．设其众数、中位数、平均分最大的可

能值分别为
，则( )

A.

　B.

C.
　　　D.

7. 给定下列命题

①过点
且与圆
相切的直线方程为
.

②在△
中，
，
，
，在
上任取一点
，使△
为钝角三角形的概率为

③
是不等式
成立的一个充分不必要条件.

④“存在实数
使
”的否定是“存在实数
使
”.

其中真命题的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

A．　 B．　 C．　 D．

9.已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)

11. 不等式
的解集为　　　　．

12. 已知两个单位向量
的夹角为
，若向量
，
= .

13. 曲线
在
处的切线方程为 ．

14. 已知等差数列
的前
项和为
,
、
是方程
的两根,且
,则数列
的公差为
.

15. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内
的取值范围是

三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分12分) 已知函数
（其中
，
，
）的最大值为2，最小正周期为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）若函数
图象上的两点
的横坐标依次为
，
为坐标原点，求
的值.

17. (本小题满分12分) 已知
是单调递增的等差数列，首项
，前
项和为
，数列
是等比数列，首项

（1）求
和
的通项公式.

（2）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

18. (本小题满分12分) 已知集合
,
,
.从集合
中各取一个元素分别记为
，设方程
为
．

（1）求方程
表示焦点在
轴上的双曲线的概率.

（2）求方程
不表示椭圆也不表示双曲线的概率．

19. (本小题满分12分) 如图,正三棱柱
中,侧面
是边长为2的正方形,
是
的中点,
在棱
上.

(1)当
时,求三棱锥
的体积.

(2)当点
使得
最小时,判断直线
与
是否垂直,并证明结论.

20. (本小题满分13分) 已知椭圆
的中心在坐标原点，两个焦点分别为
，

，点
在椭圆
上，过点
的直线
与抛物线
交于
两点，抛物线
在点
处的切线分别为
，且
与
交于点
.

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 是否存在满足
的点
? 若存在，指出这样的点
有几个（不必求出点
的坐标）; 若不存在，说明理由.

21. (本小题满分14分) 已知函数
．（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
.若至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围．

2013届高三模拟试卷（07）数学(文)参考答案

， ∴
.

∴
.

∴
.

解法2：∵
，
，

∴
.∴
.

∴
.

解法3: ∵
，

，

∴
. 作
轴,
轴,垂足分别为
,

∴
,
.

设
,则
.

∴

.

17. (本小题满分12分)

解：(1)设公差为
，公比为
，则

,
，

是单调递增的等差数列，
.

则
,
,

（2）∵


，

∴

.

18. (本小题满分12分)

解：
、
所有可能的取法有：
，
，
，
，共27种，

（1）其中表示焦点在x轴上的双曲线的有：

共6种，故方程
表示焦点在
轴的上双曲线的概率为：
；

（2）其中不表示椭圆也不表示双曲线的有：

共11种，故方程
不表示椭圆也不表示双曲线的概率为：

19. (本小题满分12分)

解：(1)因为侧面
是边长为2的正方形，

又

(2)解法1：将侧面
展开到侧面
得到矩形
,连结
,交
于点
,此时点
使得
最小.此时
平行且等于
的一半,
为
的中点.连接

在
中，
得

在
中，
得

在等腰
中，
得

所以由
，
，
得
有勾股定理知

解法2：将侧面
展开到侧面
得到矩形
,连结
,交
于点
,此时点
使得
最小.此时
平行且等于
的一半,
为
的中点.过点
作
交
于
,连接
，由
且
知四边形
为
所以
.在正三棱柱
中知
面
,而
，所以
面
.

20. (本小题满分13分)

解法1：设椭圆
的方程为

,依题意:

解得:
∴ 椭圆
的方程为
.

解法2：设椭圆
的方程为

，根据椭圆的定义得
，即
， ∵
， ∴
. ∴ 椭圆
的方程为
.

(2) 解法1：显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，

由
消去