南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（六）

数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 设集合
,
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

3.两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法

（1）若r>0，则x增大时，y也相应增大； （2）若r<0，则x增大时，y也相应增大；

（3）若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.其中正确的有( )

A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③

4．“
”是“函数
与函数
的图像重合”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 观察这列数：1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4
，则第2013个数是（ ）

A . 403 B. 404 C. 405 D. 406

6．已知函数
，则方程
所有根的和为( )

A. 0 B.
C .
D.

7. 在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,则
的取值范围是（ ）

A.
B.
或

C.
D.
或

8.用
表示有限集合
的子集个数，定义在实数集
上的函数
若
，集合
，

的值域为（ )

B．
C．
D．

9. 抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在准线
上的射影为
的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

10. 如图，已知正方体
的棱长为1，动点P在此

正方体的表面上运动，且
，记点P的轨迹的

长度为
，则函数的图像
可能是（ ）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有４小题,每小题５分,共2０分.把答案填在答题卷的相应位置.

11.为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，

市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建穿江隧道的市民占80％，

在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图

如图，其中年龄在
岁的有400人，
岁的有m人，

则n=　　 , m=

13. 经过原点
做函数
的切线，则切线方程为 。

14．在ΔABC中，
，
，则
__________。

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.

15.⑴（坐标系与参数方程选做题）化极坐标方程
为直角坐标方程为 .

⑵(不等式选择题）不等式
对任意
恒成立的实数
的取值范围为_____________

四.解答题：本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）已知向量
．

（1）求
的增区间；

（2）已知△ ABC内接于半径为6的圆，内角A、B、C的对边分别

为
，若
,求边长

17.（本小题满分12分）已知数列{
}的前
项和为

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）设数列{
}的前
项和为
,求
。

18. (本小题满分12分)如图，在四边形
中，
，
，点
为线段
上的一点.现将
沿线段
翻折到
（点
与点
重合），使得平面

平面
，连接
，
.

(Ⅰ)证明：
平面
；

(Ⅱ)若
，且点
为线段
的中点，求二面角
的大小.

19. (本小题满分12分)某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。规定每人最多猜3道，在A区猜对一道灯谜获3元奖品；在B区猜对一道灯谜获2元奖品，如果前两次猜题后所获奖品总额超过3元即停止猜题，否则猜第三道题。假设某同学猜对A区的任意一道灯谜的概率为0.25，猜对B区的任意一道灯谜的概率为0.8，用
表示该同学猜灯谜结束后所得奖品的总金额。

若该同学选择先在A区猜一题，以后都在B区猜题，求随机变量
的数学期望
;

试比较该同学选择都在B区猜题所获奖品总额超过3元与选择（1）中方式所获奖品总额超过3元的概率的大小。

20．(本小题满分13分)如图，直角坐标系
中，一直角三角形
，
，B、D在
轴上且关于原点
对称，
在边
上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线
以B、C为焦点，且经过A、D两点．

⑴ 求双曲线
的方程；

⑵ 若一过点
（
为非零常数）的直线
与双曲线
相交于不同于双曲线顶点的两点
、
，且
，问在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有这样定点
的坐标；若不存在，请说明理由

21. (本小题满分14分)已知函数
（其中
为常数）.

(Ⅰ)当
时，求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当
时，设函数
的3个极值点为
，且
.

证明：
.

数学 (理)参考答案

由
……10分

…………12分

17.解：（1）证明：
得

当
≥2时，由
得
，

于是
，

整理得
×
（
≥2），

所以数列{
}是首项及公比均为
的等比数列。…………6分

（2）由（1）得
×
。

于是
，

１８．解：(Ⅰ)连接
，
交于点
,在四边形
中，

∵
，

∴
，∴
,

∴

又∵平面

平面
，且平面

平面
=

∴
平面
……… 6分

(Ⅱ)如图，以
为原点，直线
，
分别为
轴，
轴，平面
内过
且垂直于直线
的直线为
轴建立空间直角坐标系，可设点

又
，
，
，
，且由
，
有

，解得
，∴
…………８分

则有
，设平面
的法向量为
，

由
，即
，故可取
……… １０分

又易取得平面
的法向量为
，并设二面角
的大小为
，

∴
，∴

∴二面角
的大小为
. …………………１２分

19.解：(1）随机变量
的分布列为

0

2

3

4

5



P

0.03

0.24

0.01

0.48

0.24





该同学选择都在B区猜题所获奖品总额超过3元的概率

选择（1）中方式所获奖品总额超过3元的概率

所以该同学选择都在B区猜题所获奖品总额超过3元比选择（1）中方式所获奖品总额超过3元的概率要大。

20解：(1) 设双曲线
的方程为
，则
．

由
，得
，即
．

∴
………………….3分

解之得
，∴
．

∴双曲线
的方程为
．………………….5分

(2) 设在
轴上存在定点
，使
．

设直线
的方程为
，
．

由
，得
．

即
① …………6分

∵
，
，

∴

．

即
． ② ………………….8分

把①代入②，得
③ ………………….9分

把
代入
并整理得

其中
且
，即
且
．

． ………………….10分

代入③，得
，化简得
．当
时，上式恒成立．

因此，在
轴上存在定点
，使
．………………….13分

2１．解：(Ⅰ)

令
可得
.列表如下:













-

-

0

+





减

减

极小值

增



单调减区间为
,
;增区间为
.------------5分

(Ⅱ)由题，

对于函数
，有

∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增

∵函数
有3个极值点
，

从而
，所以
，

当
时，
，
，

∴ 函数
的递增区间有
和
，递减区间有
，
，
，

此时，函数
有3个极值点，且
；

∴当
时，
是函数
的两个零点，————9分

即有
，消去
有

令