湖南省2013年六校联考数学（文）考试试卷

岳阳市一中、长沙市一中、师 大 附中、

株洲市二中、常德市一中、湘潭市一中

一、 选择题：（共9道小题，每小题5分，共45分，选对一项得5分，多选则该小题不得分。）

1、已知集合
,则
（　　　）　　

Ａ、
　　　Ｂ、
　　　Ｃ、
　　　Ｄ、

2、在复平面内，复数
对应的点位于（　　　）

Ａ、第一象限　　　Ｂ、第二象限　　Ｃ、第三象限　　Ｄ、第四象限

3、设
是等差数列
的前
项和，
，则
（　　　）

Ａ、
　　　Ｂ、
　　　Ｃ、
　　　Ｄ、

4、下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　　）

2　　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　　　　　 2

2　　　　　　　　　　 2　　　　　　　　　　　　　 2

　　　正视图　　　　　　　　侧视图　　　　　　　　　　　俯视图

Ａ、
　　Ｂ、
　　Ｃ、
　　　Ｄ、

5、如果把函数
的图像向右平移
(
>0)个单位所得的图像关于
轴对称，则
的最小值为（　　　）

Ａ、
　　　Ｂ、
　　　Ｃ、
　　　Ｄ、

6. 某程序框图如右图所示，若
,则该程序运行后，输出的
值为31,则判断框中应填的条件是（ ）

Ａ、
　?　　 Ｂ、
　?　　

Ｃ、
　?　　 Ｄ、
?

7、不等式组
所表示平面区域的面积为（　　　）

Ａ、
　　 Ｂ、
　　　 Ｃ、
　　　 Ｄ、2

8、已知
，若
与
的夹角为
，则直线

与圆
的位置关系是（　　　）

Ａ、相交　　　 Ｂ、相交且过圆心　　　　Ｃ、相切　　　　 Ｄ、相离

9、已知点集
，点集
所表示的平面区域的边界与点集
所表示的平面区域的边界的交点为
，若点
在点集
所表示的平面区域内（不在边界上），则
的面积的最大值是（ ）

3
6

9

二、填空题： 本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10、在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标坐标为_______________________

11、若以连续抛掷两枚骰子正面朝上的点数
分别作为点
的横坐标纵坐标，则事件“
”的概率为_______________________

12.在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
的最小值是 。

13、某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试。已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是_____________________

14、设
与
的离心率互为倒数，则以
为边长的三角形的形状一定是_______________________

15已知定义在
的函数
和
满足
，且
，又
，则
;方程
的解的个数为

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16、（本小题共12分）某公司研发了一款新游戏，为了测试该游戏的受欢迎程度，该公司在某高校抽取部分学生进行了调研.已知该高校在校学生有6000人，其中男生2800人，参加调研的男生有140人.

(1) 该校参加调研的女生有多少人?

(2) 该公司将调研的情况统计后得到下表1：

喜爱玩该游戏

不太喜爱玩该游戏

合计



男生

100

40

140



女生



100





合计









请将上表填写完整，并据此说明是否有99.9％的把握认为“喜爱玩该游戏”与“性别”有关？

附：

P(

0.05

0.01

0.001



k

3.841

6.635

10.828



(3)据上表1回答：随机抽取一名该校学生，请估算该学生恰好喜欢玩此游戏的概率.

17（本小题共12分）已知三角形
的三内角
对边分别是
已知向量
,且向量

⑴．求角
. ⑵．设
是三角形
的最大内角，求
的取值范围.

18. （本小题共12分）如图，在底面是菱形的四棱锥
中，
底面
，
为
中点，

（Ⅰ）求证：
平面

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的正切值.

19. （本小题共12分）某学校实验室有浓度为
和
的两种
溶液。在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为：取浓度为
和
的两种
溶液各300
分别装入两个容积都为500
的锥形瓶
中，先从
瓶中取出
溶液放入
瓶中，充分混合后，再从
瓶中取出
溶液放入
瓶中，再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第
次操作后，
瓶中溶液浓度为
，
瓶中溶液浓度为
.

（

（Ⅰ）请计算
,并判定数列
是否为等比数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;

（Ⅱ）若要使得
两个瓶中的溶液浓度之差小于
,则至少要经过几次操作.

20．（本小题共13分）已知函数

（1）若
则称
为
的“不动点”； 若
则称
为
的“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，求证：

（2）当
时，
对任意的
恒成立，求实数n的取值范围.

21. （本小题共14分）、设椭圆
和抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心点和
的顶点都是坐标原点，从每条曲线上各取两点，其坐标记录如下表：





4

1





０




4





⑴．求曲线
，
的标准方程。⑵．设直线
交椭圆
于
两点，若
，求证：
。⑶．设直线
过P(4,0)，交抛物线
交于
两点，问是否存在与
轴垂直的直线
，使
被以
为直径的圆
所截得的弦长为定值？如果存在，求出
的方程，若不存在，说明理由。

参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）

（1）C （2） D （3） D （4）A （5） B

（6） A （7）B （8）D （9）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（10）
　　　　（11）
　（12）

（13） 660 　（14）直角三角形 （15）
，方程解的个数为２

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（16）、（1）160人 ……3分

（2）

喜爱玩该游戏

不太喜爱玩该游戏

合计



男生

100

40

140



女生

60

100

160



合计

160

140

300





有
％的把握认为“喜爱玩该游戏”与“性别”有关 ……9分

（3）
……12分

（17）解：⑴.∵
，∴
即
，∴
，∴
。　　　　　　　　　　　　　．．．．．．６分

⑵．∵
为
的最大内角，∴
，

∴
，由
得
，∴
即
的范围是
。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．12分、

（18）、解析：（Ⅰ）连接BD,交AC于点O,连接OE,在三角形BDP中，

O,E分别为BD,PD中点，
OE为中位线，

OE//PB,且OE
平面ACE,PB
平面ACE,

平面
；………4分

（Ⅱ）
底面是菱形，
AC
BD,

又
底面
，
PA
BD

平面

平面

平面

平面
平面
…………………8分

（Ⅲ）过点
作直线
于点
，连接
，

由（Ⅱ）知，
平面
，

，故
平面
，

，故
为二面角
的平面角。

易得：

………………12分

（19）、解：（Ⅰ）
…………………2分

时，
，…………..4分

……………………6分

………………….7分

是以
为首项，
为公比的等比数列。

……………………8分

（Ⅱ）由
得………………9分

……………………11分

所以至少要操作8次才能达到要求………………12分

（20）、（1）证明：若

若
，从而

……5分

（2）当
时，
即

可化为
……7分

记
，

则
……9分

记
，

则

故

0 ……11分

从而

又

……13分

（21）、解：因
，
的焦点均在
轴上，设
方程为
，

依题意点