南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七）

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟.

参考公式

锥体体积公式
, 其中
为底面积，
为高.

第I卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复平面内，复数
，则复数
的共轭复数
对应的点所在象限为( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 设全集为R，集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

3. 若
，则
( )

A．0 B．1 C．2 D．3

4. 若
，且
，则
( )

A．
B．
C．
D．

5. 有以下命题：①命题“
”的否定是：“
”；

②已知随机变量
服从正态分布
，
则
；

③函数
的零点在区间
内；其中正确的命题的个数为( )

　A.0个　　　 B.1个　　 　 C.2个　　 　D.3个

6. 观察下列各式：
，
，
，…．若
，则
（）

A.43 B．57 C．73 D．91

7. 已知一组正数
的方差为
，则数据

的平均数为( )

A.2　　　 B.4　　 　 C.-2　　 　D.不确定

8. 已知函数
是R上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差

数列，
＞0，则
的值 ( )

A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负

9. 已知

，已知数列
满足
，且
，则
( )

A . 有最大值6030 B . 有最小值6030 C.有最大值6027 D . 有最小值6027

10.如图,已知正方体
的棱长为1,动点
在此

第Ⅱ卷

二 、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分）

11. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，

则其外接球的表面积是______；

12. 已知
则
展开式中的

常数项为　 　；

13. 设函数
，



，

=
，则
；

14. 已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率的取值范围为　 　.

三．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分。本题共5分。

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系

中，曲线
与
的交点的极坐标为________

(2) （不等式选讲选做题）对于任意

恒成立，则实数a
的取值范围______

四、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(本小题满分12分) 某人上楼梯，每步上一阶的概率为
，每步上二阶的概率为
，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第
阶的概率为
.

(1)求
；;

(2)该人共走了5步，求该人这5步共上的阶数ξ的数学期望.

17.（本题满分12分） 已知函数
, 其中

，其中
若
相邻两对称轴间的距离不小于

（1）求
的取值范围；

（2）在
中，
、
、
分别是角A、B、C的对边，
，当
最大时，
求
的面积.

18. （本题满分12分） 在数列
中，
，
.

（1）求
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前
项和
.

19. （本题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1）证明：
⊥平面
（2）求平面
与平面
所成角的余弦值；

20. (本小题满分13分)过点
的直线
交直线
于
，过点
的直线
交
轴于
点，
，
.

（1）求动点
的轨迹
的方程；

(2)设直线l与
相交于不同的两点
、
，已知点
的坐标为(－2,0)，点Q(0，
)在线段
的垂直平分线上且
≤4，求实数
的取值范围.

21. （本题满分14分）设
是函数
的一个极值点。

（1）求
与
的关系式（用
表示
），并求
的单调区间；

（2）设
，若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围。

2013届高三模拟试卷（07）数学（理）参考答案

四、解答题（本大题共6小题，共75分）

16. 解：(1) 从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达，………………2分

故概率为P2=
×
+
………………6分

(2)该人走了五步，共上的阶数ξ取值为5，6，7，8，9，10……………………….8分

ξ的分布列为：

ξ

5

6

7

8

9

10





P















 ……………………………………………………10分

=5×(
)5+6×
…………12分

17. 解：（1）

.

,
函数
的周期
，由题意可知
，即
，解得
，即
的取值范围是
.……………………6分

（2）由（1）可知
的最大值为1，

而
，
……………8分

由余弦定理知
，
，又
.

联立解得
，
. ………………12分

18. 解：（1）由条件得
，又
时，
，

故数列
构成首项为1，公式为
的等比数列．从而
，即
.………6分

（2）由
得
，

，

两式相减得 ：
， 所以
.………12分

设
为平面
的一个法向量,则
,

所以可取
． 则
．

∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值为
． ………………12分

20. 解 (1)由题意，直线
的方程是
，∵
，∴
的方程是

若直线
与
轴重合，则
，若直线
不与
重合，可求得直线
的方程是
，与
的方程联立消去
得
，因
不经过
，故动点动
的轨迹
的方程是

…………6分

(2)设
(x1，y1)，直线l的方程为y＝k(x＋2)
于是
、
两点的坐标满足方程组
由方程消去y并整理得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0由－2x1＝
得x1＝
，从而y1＝
设线段
的中点为N，则N(
，
)…………8分

以下分两种情况：①当k＝0时，点
的坐标为(2,0)，线段
的垂直平分线为y轴，

于是
，由
≤4得：－2≤m≤2.

②当k≠0时，线段
的垂直平分线方程为y－
＝－
(x＋
)令x＝0，

得m＝
∵
，∴
，

由
＝－2x1－m(y1－m)＝
＋
(
＋
)＝
≤4

解得－≤k≤且k≠0 ∴m＝
＝
………………11分

∴当－≤k<0时，
≤－4

当0

综上所述，－≤
<，且
≠0.…13分

21. 解：（1）∵
∴

2分

由题意得：
，即
，
3分

∴
且

令
得
，

∵
是函数
的一个极值点

∴
，即

故
与
的关系式
5分

①当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
；

②当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
； 8分

（2）由（1）知：当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，

∴
在
上的值域为
10分

易知
在
上是增函数

∴
在
上的值域为
12分

由于
，

又∵要存在
，使得