杭州市2013第二次高考科目教学质量检测

数学（理）试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟

2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效

4．考试结束，只需上交答题卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱的体积公式

P（A +B）=P（A）+P（B） V=Sh

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

P（A - B）=P（A）·P（B） 棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概车是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率

其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

棱台的体积公式 球的表面公式

其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，h 球的体积公式

表示棱台的高化

其中R表示球的半径

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知i是虚数单位，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合

A．
B．

C．
D．

3．设P为函数
的图象上的一个最高点，Q为函数
的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）

A．
B．2 C．
D．2

4．设直线：
，双曲线
，则“
”是“直线
与双曲线C恰有一个公共点“的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．若存在实数x，y使不等式组
与不等式
都成立，则实数m的取

值范围是（ ）

A．m≥0 B． m≤3 C．m≥l D．m≥3

6．设数列{an}是首项为l的等比数列，若
是等差数列，则

的值等于（ ）

A． 2012 B． 2013 C． 3018 D． 3019

7．已知双曲线
，A，B是双曲线的两个顶点．P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上．P关于y轴的对称点是Q若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，

且k1·k2=
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若函数
，则下列命题正确的是（ ）

A．对任意
，都存在
,使得

B．对任意
，都存在
，使得

C．对任意
，方程
只有一个实根

D．对任意
，方程
总有两个实根

9．在直角坐标中，A（3，1），B（－3，－3），C（l．4）．P是
和
夹角平分线上的一点，且

=2，则
的坐标是

A．
B．

C．
D

10．如图，平面
与平面
交于直线
，A，C是平面
内

不同的两点，B，D是平面
内不同的两点，且A，B．

C．D不在直线
上，M，N分别是线段AB，CD的中

点，下列判断正确的是（ ）

A．若AB与CD 相交，且直线AC平行于
时，则直线BD

与
可能平行也有可能相交

B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与
平行

C．若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD

都相交，则AB，CD不可能是异面直线

D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与
不可能相交

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．已知
，则
。

12．在二项式
的展开式中，常数项为 。

13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的

值是____ 。

14．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体

的表面积为 。

15．公差不为0的等差数列{an}的部分项
，

构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4= 。

16．在△OAB中，C为OA上的一点，且

是BC的中点，过点A的直线
∥OD，P

是直线
上的动点，

则
= 。

17．已知
且
），直线
过点A（a，a2），B（b，b2），则直线
被圆（
所截得的弦长为____。

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b，c．已知c=2．acosB－bcosA=
。

（I）求bcosA的值；

（Ⅱ）若a=4．求△ABC的面积。

19．（本小题满分14分）

已知盘中有编号为A，B，C，D的4个红球，4个黄球，4个白球（共 12个球）现从中摸出4个球（除编号与颜色外球没有区别）

（I）求恰好包含字母A，B，C，D的概率）；

（II）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X．球Y的分布列和期望E（X）。

20．（本题满分15分）

已知在四棱锥P －ABCD中，底面ABCD是平行

四边形，PA⊥平面ABCD，PA=
，AB=1．AD= 2．

∠BAD= 120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，

AD的中点

（Ⅰ）求证：PH∥平面CED；

（Ⅱ）过点F作平面
，使ED∥平面
，当平面

⊥平面EDC时，设PA与平面
交于点Q，求PQ的长。

21．（本题满分15分）

已知直线y=2x－2与抛物线x2=2py（p>0）交于

M1，M2两点，直线y=
与y轴交于点F．且直线y

=
恰好平分∠M1FM2。

（I）求P的值；

（Ⅱ）设A是直线y=
上一点，直线AM2交抛物

线于另点M3，直线M1M3交直线y=
于

点B，求
·
的值。

22．（本题满分I4分）设函数
为实数）。

（I）设a≠0，当a+b=0时．求过点P（一1，0）且与曲线
相切的直线方程；

（Ⅱ）设b>0，当a≤0且
时，有
，求b的最大值。

参考答案

选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

C

A

B

C

C

B

A

D





填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)：

11.
. 12. 60 13. 6 14.

15. 22 16. (
17.

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18. (本题满分14分)

(Ⅰ) ∵
，根据余弦定理得，
，

∴
，又∵
，∴
，

∴
. 7分

(Ⅱ) 由
及
，得
.

又∵
，∴
，∴
，

∴
. ks5u 14分

19. (本题满分14分)

(Ⅰ) P＝
. 5分

(Ⅱ)
，
，

.

X

1

2

3



P









 分布列为：

12分

. 14分

20. (本题满分15分)

(Ⅰ) 连接HC，交ED于点N，连结GN，

由条件得：DHEC是矩形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，

∴ GN//PH， 2分

又 ∵ GN
平面GED，PH不在平面GED内， 4分

∴ PH//平面GED. 5分

（第20题）

(Ⅱ) 方法1：连结AE，∵
， ∴ △ABE是等边三角形，设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为
轴建立空间直角坐标系.

则B(
,
,0)， C(
,
,０)，D(0，2，0)，P(0，0，
)，

则E(
,
,0)， F(
,
,
)，Ｇ(
,
,
).

设Q(0，0，
) ，
，
. 8分

设
是平面GED的一个法向量，

则
，得
，

令
∴
. 10分

设
是平面
的一个法向量，

则
，得
，令
，得

， 12分

当平面GED⊥平面
时，
，

得
，则PQ的长为
. 15分

（第20题）

方法2：连接BH，则BH//ED，又∵PB//GE，∴平面PBH//平面GED，

设BH与AE交于点K，PK的中点为M，

∵F是PB的中点，∴FM//BK，

∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK ，∴ BK⊥平面PAK.

∴ FM⊥平面PAK，

过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为
，

∵ED//BH// FM，∴ED//平面
，又平面
⊥平面PBH，∴平面
⊥平面EDG .

得平面
满足条件. 9分

∵
，
，∴
，

由
，

得
. 15分ks5u

21. (本题满分15分)

（第21题）

(Ⅰ) 由
，整理得
，设MR1R(
)，MR2R(
)，

则
，

∵ 直线
平分
，∴
，

∴
，即：
，

∴
，∴
，满足
，∴
. 7分

(Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为
，且
，
，
，

设
，A
，
，

由A、MR2R、MR3R三点共线得
，

∴
，即：
，

整理得：
， ……①

由B、MR3R、MR1R三点共线，同理可得
， ……②

②式两边同乘
得：
，

即：
， ……③

由①得：
，代入③得：
，

即：
，∴
.

∴
. 15分

22. (本题满分14分)

(Ⅰ) ∵
，
，∴
，则
，

∴
，设切点T(
)，则
，

即：切线方程为
，又∵切线过点P(
)，

∴