南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（六）

数学（文）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 设集合
,
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．命题“
”的否定是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为
图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流程图输出的结果是（ ）

A．
B．

C．
D．

4.设
，函数
的导函数是
，且
是奇函数，则
的值为

A．
B．
C．
D．

5.已知
满足线性约束条件
，若
，
，则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 观察这列数：1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4
，则第2013个数是（ ）

A . 403 B. 404 C. 405 D. 406

7.已知数列{an}满足 an+2-an+1= an+
1-an，
，且a5=
若函数f(x)= sin2x+2cos2
，

记yn=f(an)，则数列{yn}的前9项和为（ ）

(A)O (B)-9 (C)9 (D)1

8. 抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在准线
上的射影为
的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

10. 如图，已知正方体
的棱长为1，动点P在此

正方体的表面上运动，且
，记点P的轨迹的

长度为
，则函数的图像
可能是（ ）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.

11.为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，

市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建穿江隧道的市民占80％，

在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图

如图，其中年龄在
岁的有400人，
岁的有m人，

则n=　　 , m=

12．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形

(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 ______
．

13．甲、乙、丙三人站成一排，

其中甲、乙两人不排在一起的概率为______________．

14．在ΔABC中，
，
，

则
__________。

15．对于定义域和值域均为
的函数f(x)，定义
，
，…，
，n=1，2，3，…．满足
的点称为f的
阶周期点．

设
则f的
阶周期点的个数是 4 。

三．解答题：本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）已知向量
．

（1）求
的增区间；

（2）已知△ ABC内接于半径为6的圆，内角A、B、C的对边分别

为
，若
,求边长

17.（本小题满分12分）已知数列{
}的前
项和为

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）设数列{
}的前
项和为
,求
。

18．（本小题满分12分）某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：

日 期

4月1日

4月2日

4月3日

4月4日

4月5日



温 差

10

13

11

12

7



感染数

23

32

24

29

17



 （1）求这5天的平均感染数；

（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为
用
的形式列出所有的基本事件, 其中
视为同一事件,并求
或
的概率．

19．（本小题满分12分）如图直三棱柱
的侧棱长为
，
，且
，点
分别是棱
上的动点，且
.

(Ⅰ)求证：无论
在何处，总有
；

(Ⅱ)当三棱锥
的体积取得最大值时，求异面直线
与
所成角的余弦值.

20.（本小题满分13分）已知
处的切线与直线
平行。

（1）求
满足的关系式；

（2
）若
上恒成立，求a的取值范围；

（3）若
，数列
满足
求证：
.

21. (本小题满分14分)如图，直角坐标系
中，一直角三角形
，
，B、D在
轴上且关于原点
对称，
在边
上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线
以B、C为焦点，且经过A、D两点．

⑴ 求双曲线
的方程；

⑵ 若一过点
（
为非零常数）的直线
与双曲线
相交于不同于双曲线顶点的两点
、
，且
，问在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有这样定点
的坐标；若不存在，请说明理由

数学 (文)参考答案

由
……10分

…………12分

17.解：（1）证明：
得

当
≥2时，由
得
，

于是
，

整理得
×
（
≥2），

所以数列{
}是首项及公比均为
的等比数列。…………6分

（2）由（1）得
×
。

于是
，

18.

19.

20.解：（1）
，根据题意
，即

（2）由（Ⅰ）知，
，

令

，

21．解：(1) 设双曲线
的方程为
，则
．

由
，得
，即
．

∴
………………….3分

解之得
，∴
．

∴双曲线
的方程为
．………………….5分

(2) 设在
轴上存在定点
，使
．

设直线
的方程为
，
．

由
，得
．

即
① …………6分

∵
，
，

∴

．

即
． ② ………………….8分

把①代入②，得
③ ………………….9分