安师大附中2013届高三第七次模拟考试

数 学 试 题（文科）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）.

1.已知复数
,则复数在复平面内对应的点在 （ ）.

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.全集
，则
＝ （ ）.

A.
B.
C.
D.

3.“
”是“直线
与圆
相切”的 （ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.设平面区域D是由双曲线
的两条渐近线和直线
所围成三角形的边界及内部．当
时，
的最大值为 （ ）.

A.12 B.10 C.8 D.6

5.从正四面体的6条棱中随机选择2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为 （ ）.

A.
B.
C.
D.

6.已知下列命题：

①命题:“
”的否定
为:“
”；

②回归直线一定过样本中心（
）；

③若
，则
.

其中正确命题的个数为 （ ）.

A.1 B.2 C.3 D.0

7.已知函数
的图象在点
处的切线与直线
平行，若数列
的前项和为
，则
的值为 （ ）.

A.
B.
C.
D.

8.如果函数
的图象向左平移
个单位后，所得图象关于原点对称，那么函数
的图象 （ ）.

A.关于点
对称 B.关于直线
对称

C.关于点
对称 D.关于直线
对称

9.已知点在抛物线
上，那么到点
的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 （ ）.

A.
B.
C.
D.

10.设函数
，
. 若当
时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是 （ ）.

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11.若函数
与轴交点恰为抛物线
焦点，则
．

12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .

13.上面的程序框图输出的结果为 .

14.已知在
中，
，且
，点
满足
,则
等于 .

15.如果对于任意一个三角形，只要它的三边长
都在函数
的定义域内，则
也是某个三角形的三边长，则称函数
为“保三角形函数”.现有下列五个函数： ①
；②
；③
；④
；⑤
.

则其中是 “保三角形函数”的有 .（写出所有正确的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共75分）.

16.（本小题满分12分）

已知向量
，
，设函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）在
中，若
的面积为
，求实数的值.

17．（本小题满分12分）

某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分为150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组
、第二组
…、第六组
. 下图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.

（Ⅰ）求第四和第五组频率，并补全频率分布直方图；

（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面
列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99﹪的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”.





合计



参加培训

5



8



未参加培训









合计



4






附：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18.（本题满分12分）

设函数
，已知数列


是公差为2的等差数列，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
时，求数列
的前项和
.

19．（本小题满分13分）

如图，在矩形
中，
，是
的中点，以
为折痕将
向上折起，使到点位置，且
.

（Ⅰ）若是
的中点，求证：
面
；

（Ⅱ）求证：面
面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若
在区间
上是单调递减函数，求实数的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过点
的直线与椭圆
相交于两点
，设为椭圆上一点，且满足
（其中
为坐标原点），求整数的最大值．

七模文科数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）

ABACD CDBDA

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）.

11.
12.
13.
14. 15.①④

三、解答题（本大题共6小题，共75分）.

16.解：（Ⅰ）
，

　…………………………………………………………………4分

………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
得，
　
　

又
为
的内角　　

　　

　…………………………9分

　　　
　　　

　　
　 …………12分

17．解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为
，则
①

②

由①②解得
，
……………………………………………………………4分

从而得出直方图（如图所示）

…………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）依题意，进入决赛人数为
，进而填写列联表如下：





合计



参加培训

5

3

8



未参加培训

15

1

16



合计

20

4

24





…………………………………………………………………………………………………9分

又由
，

故没有99﹪的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”. …………………………………………………………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）
，且
，

，即
，

所以
. …………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）当
时，
，

则
，……………………………………8分

两式相减得

， …………………………………………11分

所以
. ………………………………………………………………12分

19．（Ⅰ）取
中点
，连接GF，GC，

四边形AECG为平行四边形，

在
中，GF//AP，

又
，

所以平面APE//平面FGC

又
所以，CF//面APE. ……………………………………………4分

（Ⅱ）取AE中点O，连接PO,则

取BC的中点H，连OH，PH，

因为
所以
,从而
,

又BC与AE相交，可得

所以，
. …………………………………………9分

（Ⅲ）
. ………13分

20．解（Ⅰ）函数
的定义域为（0，+∞）.

当
时，
……………………2分

当变化时，
的变化情况如下：











-

0

+







极小值






的单调递减区间是
；单调递增区间是
.

极小值是
……………………………………………………………… 6分

（Ⅱ）由
，得
…………………… 8分

又函数
为
上的单调减函数.

则
在
上恒成立， 所以不等式
在
上恒成立，

即
在
上恒成立. ………………………………………… 10分

设
，显然
在
上为减函数，

所以
的最小值为

的取值范围是
. ………………12分

21.解：（Ⅰ）由题知
， 所以
．即
．

又因为
，所以
，
．

故椭圆
的方程为
．…………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
.

，
……………………………………………………8分

∵
，∴
，
，

.

∵点在椭圆上，∴
，

∴
…………………………………………………………………12分

，

∴的最大整数值为1. ……………………………………………………………14分