天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案

数 学（理工类）

一、选择题：每小题5分，满分40分.

（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）A

二、填空题：每小题5分，共30分.

（9）12 （10）
（11）5 （12）
或6 （13）1 （14）3

三、解答题

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知得

即
，………………………………………………………………2分

所以
………………………………………………3分

所以
……………………4分

…………………………………5分

所以函数
的最小正周期为 …………………………………6分

（Ⅱ）由
，得
…………………………………7分

则
……………………………………………………9分

所以
…………………………………11分

所以函数
的最大值为
；最小值为
…………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有
种 ………… 2分

颜色不同且标号之和为3的情况有6种 ………………………………… 4分

∴
…………………………………………… 5分

(Ⅱ) 依题意
的可取值为0,1,2,3,4,6

………………………………………………6分

………………………………………………7分

………………………………………………8分

………………………………………………9分

………………………………………………10分

………………………………………………11分

0

1

2

3

4

6



















（不列表不扣分）

…………………13分

（17）（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）法一：取
中点
，连结
，
．

∵
∴
且

∴
平面
，又
平面
，∴
…………………………3分

法二：取
中点
，以
为原点，

分别以
、
、
为轴、轴、轴，

建立空间直角坐标系，则
,

，
,
,

，

． ……………………………………………………………………3分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得

设
为平面
的一个法向量，则
　

取
,
．

∴
． …………………………………………………………6分

又
为平面
的一个法向量，

∴二面角
的余弦值为
． ………………………………………9分

(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得
，
为平面
的一个法向量

∴点到平面
的距离
……………………………13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，　 ………………………………1分

　而　
，

　　∴　
．
…………………………3分

　　∴　{
}是首项为
，公差为1的等差数列． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
， ………………………………………………………5分

, …………………………………6分

于是
=
　　 …………………………………………7分

故有

=6
…………………………………9分

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　

, ……………………………10分

则

． …………11分

则
+…+

，

∴

． ………………………13分

（19）（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为
,

则其右焦点坐标为
, ………………………………1分

由
,得
,

即
,故
. …………………………………………2分

又∵
, ∴
, ……………………………………………………3分

∴所求椭圆方程为
. ……………………4分

(Ⅱ)由题意可设直线
的方程为

, ……………………5分

由
，知点在线段
的垂直平分线上,

由
得

即
……（*） ………………………………………6分

即
时方程（*）有两个不相等的实数根 …………………………7分

设
，
，线段
的中点

则
，
是方程（*）的两个不等的实根，故有
…………8分

从而有
，

于是，可得线段
的中点的坐标为
………………9分

又由于
，因此直线
的斜率为
………10分

由
，得
…………………………11分

即
，解得
，∴
， …………………………12分

∴所求直线
的方程为：
. …………………………14分

方法二：设直线
的方程为

， ………………………………5分

则

　　　　得：
………………………………………6分

由

设
、
由韦达定理得
　， ……………8分

　　 又
，则
……………9分

移项得：
＝
＝－
＝－
＝－

解得
， …………………………………………………………12分

此时△＞0适合题意，

∴所求直线
的方程为： =±
－3 …………………………………14分

（20）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
， ∴
① ………………1分

将
代入直线方程得
，∴
② ………………2分

①②联立，解得
……………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，∴
在
上恒成立；

即
在
恒成立； ………………………………5分

设
，
，

∴只需证对于任意的
有
…………………………6分

设
，

1）当
，即
时，
，∴

在
单调递增，∴
……………………………………7分

2）当
，即
时，设
是方程
的两根且

由
，可知
，

分析题意可知当
时对任意
有
；

∴
，∴
…………………………………8分

综上分析，实数的最小值为. …………………………………9分

（Ⅲ）令
，有
即
在
恒成立…10分

令
，得
……………………11分

∴

∴原不等式得证. ……………………………………………………………14分