天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案

数 学（文史类）

一、选择题：

（1）（B） （2）（C） （3）（D） （4）（A）

（5）（C） （6）(C) （7）(D) （8）（A）

二、填空题：

（9）
（10）
(11)12 （12）2 （13）
（14）

三、解答题

（15）（Ⅰ）∵
∴
………………1分

∴
∴

∴
……………3分

与
联立得
，
………………5分

∴
……………………………………………………6分

∴
…………………………………………………7分

（Ⅱ）∵
……………………………………8分

∴
∴
………………10分

∵
…………………………………………………………………11分

∴
∴
…………………………………………13分

（16）（Ⅰ）依题意，分层抽样的抽样比为
……………………………………2分

∴ 在一年级抽取的人数为
人 ………………………………………3分

在二年级抽取的人数为
人 ………………………………………4分

（Ⅱ）①用
表示样本中一年级的2名志愿者，用
表示样本中

二年级的4名志愿者。则抽取二人的情况为

……………………9分

②抽取的二人在同一年级的情况是

共7种 ……………10分

由①知抽取二人的不同情况共有15种 …………………………………………11分

∵每一种情况发生的可能性都是等可能的 …………………………………………12分

∴ 抽取的二人是同一年级的概率为
………………………………………………13分

（17）（Ⅰ）∵
分别为
的中点 ∴
是
的边
的中位线

∴
∥
…………………………………………………………………………1分

∵ 四边形
为矩形 ∴
∥
∴
∥
…………………………2分

∵
平面

平面
∴
∥平面
………………………4分

（Ⅱ）∵
，为
的中点 ∴
…………………………………5分

∵
平面
，
平面
∴

∵
，
是平面
内的两条相交直线

∴
平面

∵
平面
∴
………………………………7分

∵
∥

∴
…………………………………………………………8分

∵
是平面
内的两条相交直线

∴
平面
…………………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）
平面

∴
是
在平面
上的摄影

∴
是直线
与平面
所成的角 ………………………11分

在直角三角形
中，

∴
………………………………13分

（18）（Ⅰ）由题意
，
，
………2分

∴

解得
（舍去）或
…………………………………………………4分

∴
…………………………………………………………6分

………………………………………………………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
………………………………10分

∴

即
………………………………………………………13分

（19）（Ⅰ）当
时，
．
,

由
得
,

即当
时，函数
的单调递减区间为
． …………3分

（Ⅱ）

依题意知方程
在区间（1，2）内有不重复的零点， ………5分

而
,由
得

∵x ∈（1，2）， ∴
,∴
；

令
（x∈（1，2）），则
，

∴
在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为
，

故的取值范围是
． ………………………8分

（Ⅲ）由题意可知，当
[0，3]时，
=0恒成立,

即
[0，3]时,
恒成立． ………………………9分

记

当
时，
在
[0，3]时恒成立,符合题意；

当
时，由于
，则不符合题意；

当
时，由于
，则只需
，得
，

即
． ………………………13分

综上,
． ………………………14分

（20）（Ⅰ）
…………1分

椭圆E过点C（2，1）代入椭圆方程得

，

所求椭圆E的方程为
…………4分

（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上

CP和DP的斜率
均存在

设P（x，y）则

…………6分

又点P在椭圆E上

所以CP和DP的斜率
之积为定值
…………9分

（Ⅲ）CD的斜率为
，

平行于直线

由

消去y，整理得

设

由

当且仅当
时取等号，即
时取等号

所以
面积的最大值为2

此时直线
的方程
………………………………14分